Номер 17, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и их множествами решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $3^x \ge 3$

Б) $(\frac{1}{3})^x \ge 3$

В) $(\frac{1}{3})^x < 3$

Г) $3^x < 3$

Множества решений

1) $[-1; +\infty)$

2) $(-\infty; -1]$

3) $[1; +\infty)$

4) $(-\infty; 1)$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А Б В Г

Для установления соответствия решим каждое неравенство.

А) $3^x \ge 3$

Представим число 3 в правой части как степень с основанием 3: $3 = 3^1$.

Неравенство примет вид: $3^x \ge 3^1$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$x \ge 1$

Это соответствует множеству решений $[1; +\infty)$, которое указано под номером 3.

Ответ: 3

Б) $(\frac{1}{3})^x \ge 3$

Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 3. Учитывая, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, получаем:

$(3^{-1})^x \ge 3^1$

$3^{-x} \ge 3^1$

Так как основание $3 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$-x \ge 1$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -1$

Это соответствует множеству решений $(-\infty; -1]$, которое указано под номером 2.

Ответ: 2

В) $(\frac{1}{3})^x \le 3$

Снова представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 3:

$(3^{-1})^x \le 3^1$

$3^{-x} \le 3^1$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$-x \le 1$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x \ge -1$

Это соответствует множеству решений $[-1; +\infty)$, которое указано под номером 1.

Ответ: 1

Г) $3^x \le 3$

Представим правую часть как $3^1$:

$3^x \le 3^1$

Так как основание $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \le 1$

Это соответствует множеству решений $(-\infty; 1]$, которое указано под номером 4.

Ответ: 4

Теперь заполним таблицу, вписав под каждой буквой соответствующий номер множества решений.