Номер 20, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. Решите неравенство:

1) $4^x - 12 \cdot 2^x + 32 \ge 0;$

2) $7^{2x+1} - 8 \cdot 7^x + 1 < 0;$

3) $36^{x+0.5} + 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0;$

4) $5^{-x} + 24 \le 25 \cdot 5^x;$

5) $8 \cdot 0.5^{2x} - 17 \cdot 0.5^x + 2 \le 0;$

6) $9^{x+1} + 26 \cdot 3^x - 3 < 0.$

1) $4^x - 12 \cdot 2^x + 32 \ge 0$

Преобразуем неравенство, заметив, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Выполним замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

После замены исходное неравенство сводится к квадратному неравенству относительно $t$:
$t^2 - 12t + 32 \ge 0$.

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 12t + 32 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 8$.

Графиком функции $y = t^2 - 12t + 32$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны ($y \ge 0$), когда переменная $t$ находится вне интервала между корнями, то есть при $t \le 4$ или $t \ge 8$.

Учитывая ограничение $t > 0$, получаем совокупность решений для $t$: $0 < t \le 4$ или $t \ge 8$.

Выполним обратную замену $t = 2^x$:

1. $0 < 2^x \le 4$. Левая часть $2^x > 0$ верна для любого $x$. Решаем правую часть: $2^x \le 4 \implies 2^x \le 2^2$. Так как основание степени $2 > 1$, то для показателей степени неравенство сохраняется: $x \le 2$.

2. $2^x \ge 8$. Представим $8$ как $2^3$: $2^x \ge 2^3$. Так как основание $2 > 1$, то $x \ge 3$.

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2) $7^{2x+1} - 8 \cdot 7^x + 1 < 0$

Преобразуем первый член неравенства, используя свойства степеней: $7^{2x+1} = 7^{2x} \cdot 7^1 = 7 \cdot (7^x)^2$.

Неравенство принимает вид: $7 \cdot (7^x)^2 - 8 \cdot 7^x + 1 < 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 7^x$. Так как $7^x > 0$ при любом $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $7t^2 - 8t + 1 < 0$.

Найдем корни уравнения $7t^2 - 8t + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36$. Корни: $t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{14} = \frac{8 \pm 6}{14}$, откуда $t_1 = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$ и $t_2 = \frac{14}{14} = 1$.

Ветви параболы $y = 7t^2 - 8t + 1$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями: $\frac{1}{7} < t < 1$. Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену: $\frac{1}{7} < 7^x < 1$.

Перепишем неравенство, используя степени с основанием 7: $7^{-1} < 7^x < 7^0$.

Так как основание степени $7 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $-1 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-1, 0)$.

3) $36^{x+0,5} + 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0$

Преобразуем первый член: $36^{x+0,5} = 36^x \cdot 36^{0,5} = (6^2)^x \cdot \sqrt{36} = 6 \cdot (6^x)^2$.

Неравенство принимает вид: $6 \cdot (6^x)^2 + 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0$.

Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$. Тогда получаем: $6t^2 + 5t - 1 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $6t^2 + 5t - 1 = 0$. $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$. Корни: $t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{12} = \frac{-5 \pm 7}{12}$, откуда $t_1 = \frac{-12}{12} = -1$ и $t_2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ветви параболы $y = 6t^2 + 5t - 1$ направлены вверх, значит, неравенство $y \ge 0$ выполняется при $t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{6}$.

С учетом условия $t > 0$, из найденных решений подходит только $t \ge \frac{1}{6}$.

Выполняем обратную замену: $6^x \ge \frac{1}{6}$.

Перепишем в виде $6^x \ge 6^{-1}$.

Так как основание $6 > 1$, то для показателей степени неравенство сохраняется: $x \ge -1$.

Ответ: $x \in [-1, \infty)$.

4) $5^{-x} + 24 \le 25 \cdot 5^x$

Перепишем $5^{-x}$ как $\frac{1}{5^x}$. Неравенство примет вид: $\frac{1}{5^x} + 24 \le 25 \cdot 5^x$.

Сделаем замену $t = 5^x$, где $t > 0$. Получаем: $\frac{1}{t} + 24 \le 25t$.

Так как $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства: $1 + 24t \le 25t^2$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: $25t^2 - 24t - 1 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $25t^2 - 24t - 1 = 0$. $D = (-24)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-1) = 576 + 100 = 676 = 26^2$. Корни: $t_{1,2} = \frac{24 \pm 26}{50}$, откуда $t_1 = \frac{-2}{50} = -\frac{1}{25}$ и $t_2 = \frac{50}{50} = 1$.

Ветви параболы $y = 25t^2 - 24t - 1$ направлены вверх, поэтому неравенство $y \ge 0$ выполняется при $t \le -\frac{1}{25}$ или $t \ge 1$.

Учитывая условие $t > 0$, подходит только решение $t \ge 1$.

Делаем обратную замену: $5^x \ge 1$.

Перепишем 1 как $5^0$: $5^x \ge 5^0$.

Так как основание $5 > 1$, то для показателей степени неравенство сохраняется: $x \ge 0$.

Ответ: $x \in [0, \infty)$.

5) $8 \cdot 0,5^{2x} - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$

Заметим, что $0,5^{2x} = (0,5^x)^2$. Неравенство можно переписать как $8 \cdot (0,5^x)^2 - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$.

Пусть $t = 0,5^x$. Так как $0,5^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $8t^2 - 17t + 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $8t^2 - 17t + 2 = 0$. $D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 - 64 = 225 = 15^2$. Корни: $t_{1,2} = \frac{17 \pm 15}{16}$, откуда $t_1 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ и $t_2 = \frac{32}{16} = 2$.

Ветви параболы $y = 8t^2 - 17t + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями: $\frac{1}{8} \le t \le 2$. Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену: $\frac{1}{8} \le 0,5^x \le 2$.

Представим все числа в виде степени с основанием $0,5$: $0,5^3 \le 0,5^x \le (0,5)^{-1}$.

Так как основание степени $0,5$ находится в интервале $(0, 1)$, при переходе к показателям степени знаки неравенства меняются на противоположные: $3 \ge x \ge -1$.

Запишем ответ в стандартном виде: $-1 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [-1, 3]$.

6) $9^{x+1} + 26 \cdot 3^x - 3 < 0$

Преобразуем первый член: $9^{x+1} = 9 \cdot 9^x = 9 \cdot (3^2)^x = 9 \cdot (3^x)^2$.

Неравенство принимает вид: $9 \cdot (3^x)^2 + 26 \cdot 3^x - 3 < 0$.

Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$. Тогда получаем: $9t^2 + 26t - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $9t^2 + 26t - 3 = 0$. $D = 26^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-3) = 676 + 108 = 784 = 28^2$. Корни: $t_{1,2} = \frac{-26 \pm 28}{18}$, откуда $t_1 = \frac{-54}{18} = -3$ и $t_2 = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.

Ветви параболы $y = 9t^2 + 26t - 3$ направлены вверх, значит, неравенство $y < 0$ выполняется между корнями: $-3 < t < \frac{1}{9}$.

С учетом условия $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{9}$.

Выполняем обратную замену: $0 < 3^x < \frac{1}{9}$.

Левая часть $3^x > 0$ верна для любого $x$. Решаем правую часть: $3^x < \frac{1}{9}$.

Перепишем в виде $3^x < 3^{-2}$.

Так как основание $3 > 1$, то для показателей степени неравенство сохраняется: $x < -2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.