Номер 16, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. При каких значениях $a$ уравнение $25^x - (a - 4) \cdot 5^x - 2a^2 + 10a - 12 = 0$ не имеет действительных корней?

Данное уравнение является показательным. Преобразуем его, заметив, что $25^x = (5^x)^2$:$(5^x)^2 - (a-4) \cdot 5^x - (2a^2 - 10a + 12) = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$, то для новой переменной $t$ должно выполняться строгое неравенство $t > 0$.

После замены исходное уравнение сводится к квадратному уравнению относительно $t$:$t^2 - (a-4)t - (2a^2 - 10a + 12) = 0$

Исходное уравнение не будет иметь действительных корней $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение относительно $t$ не будет иметь положительных корней. Это возможно в следующих случаях:

1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней.
2. Квадратное уравнение имеет действительные корни, но все они неположительны (т.е. $t \le 0$).

1. Рассмотрим случай отсутствия действительных корней у квадратного уравнения.
Это условие выполняется, если дискриминант $D$ уравнения отрицателен. Найдем дискриминант:$D = (-(a-4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2a^2 - 10a + 12))$$D = (a-4)^2 + 4(2a^2 - 10a + 12)$$D = a^2 - 8a + 16 + 8a^2 - 40a + 48$$D = 9a^2 - 48a + 64$Полученное выражение является полным квадратом:$D = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 8 + 8^2 = (3a-8)^2$

Условие $D < 0$ принимает вид $(3a-8)^2 < 0$. Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, квадратное уравнение для $t$ всегда имеет действительные корни при любом значении параметра $a$. Первый случай невозможен.

2. Рассмотрим случай, когда все действительные корни неположительны.
Поскольку $D = (3a-8)^2 \ge 0$ для всех $a$, уравнение всегда имеет действительные корни $t_1$ и $t_2$. Чтобы исходное уравнение не имело решений, эти корни должны быть неположительными: $t_1 \le 0$ и $t_2 \le 0$. Для квадратного уравнения вида $t^2+pt+q=0$ с действительными корнями, условия $t_1 \le 0$ и $t_2 \le 0$ эквивалентны системе неравенств (согласно теореме Виета):$\begin{cases} t_1 + t_2 \le 0 \\ t_1 \cdot t_2 \ge 0 \end{cases}$

Применим эти условия к нашему уравнению $t^2 - (a-4)t - (2a^2 - 10a + 12) = 0$:
Сумма корней: $t_1 + t_2 = a-4$.
Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = -(2a^2 - 10a + 12)$.
Составляем систему неравенств:$\begin{cases} a-4 \le 0 \\ -(2a^2 - 10a + 12) \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему.
Из первого неравенства получаем: $a \le 4$.
Второе неравенство равносильно неравенству $2a^2 - 10a + 12 \le 0$. Разделим его на 2:$a^2 - 5a + 6 \le 0$Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 5a + 6=0$. По теореме Виета, $a_1=2$, $a_2=3$. Разложим на множители: $(a-2)(a-3) \le 0$. Решением этого неравенства является отрезок $a \in [2, 3]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:$\begin{cases} a \le 4 \\ a \in [2, 3] \end{cases}$Общим решением системы является отрезок $[2, 3]$.

Таким образом, при $a \in [2, 3]$ квадратное уравнение для $t$ имеет только неположительные корни, что означает, что исходное показательное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $a \in [2, 3]$.