Номер 9, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 9^{\sin x},$

2) $y = \left(\frac{1}{9}\right)^{|\cos x|} + 1.$

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 9^{\sin x}$, необходимо исследовать область значений показателя степени.

Функция $y = 9^t$ является показательной с основанием $a=9$. Так как основание больше единицы ($9 > 1$), функция является монотонно возрастающей. Это означает, что наибольшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении показателя $\sin x$, а наименьшее значение — при наименьшем значении показателя.

Область значений функции синус известна: $-1 \le \sin x \le 1$.

Следовательно, наименьшее значение показателя равно $-1$, а наибольшее равно $1$.

Наименьшее значение функции $y$ будет:

$y_{наим} = 9^{\min(\sin x)} = 9^{-1} = \frac{1}{9}$.

Наибольшее значение функции $y$ будет:

$y_{наиб} = 9^{\max(\sin x)} = 9^1 = 9$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно $\frac{1}{9}$, наибольшее значение равно $9$.

2) Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{9}\right)^{|\cos x|} + 1$.

Это показательная функция $f(t) = \left(\frac{1}{9}\right)^t$ с основанием $a = \frac{1}{9}$. Так как основание находится в интервале $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей. Это означает, что наибольшее значение $f(t)$ достигается при наименьшем значении показателя $t$, а наименьшее — при наибольшем значении $t$. Функция $y$ будет вести себя так же, поскольку к ней добавляется константа, что лишь сдвигает график по вертикали, не меняя характер монотонности.

Показателем степени является выражение $|\cos x|$. Найдем его область значений.

Область значений косинуса: $-1 \le \cos x \le 1$.

Применяя модуль, получаем, что область значений для $|\cos x|$ — это отрезок $[0; 1]$.

Итак, $0 \le |\cos x| \le 1$.

Наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении показателя, то есть при $|\cos x| = 0$:

$y_{наиб} = \left(\frac{1}{9}\right)^{0} + 1 = 1 + 1 = 2$.

Наименьшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении показателя, то есть при $|\cos x| = 1$:

$y_{наим} = \left(\frac{1}{9}\right)^{1} + 1 = \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9}$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно $\frac{10}{9}$, наибольшее значение равно $2$.