Номер 3, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Сравните значения выражений:

1) $3^{2,4}$ и $3^{3,14}$;

2) $0,4^{0,5}$ и $0,4^{0,6}$;

3) $1$ и $(\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}} ; $

4) $0,22^{-2}$ и $1$;

5) $(\sqrt{5})^{\frac{1}{2}}$ и $(\sqrt{5})^{\frac{1}{3}}$;

6) $(\sqrt{2}-1)^{-1,4}$ и $(\sqrt{2}-1)^{-1,5}$.

1) Для сравнения выражений $3^{2,4}$ и $3^{3,14}$ рассмотрим показательную функцию $y=a^x$ с основанием $a=3$. Так как основание степени $a=3 > 1$, данная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение самой степени. Сравним показатели: $2,4 < 3,14$. Следовательно, $3^{2,4} < 3^{3,14}$.
Ответ: $3^{2,4} < 3^{3,14}$.

2) Для сравнения выражений $0,4^{0,5}$ и $0,4^{0,6}$ рассмотрим показательную функцию $y=a^x$ с основанием $a=0,4$. Так как основание степени $0 < a < 1$ (в нашем случае $0 < 0,4 < 1$), данная функция является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение самой степени. Сравним показатели: $0,5 < 0,6$. Так как функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $0,4^{0,5} > 0,4^{0,6}$.
Ответ: $0,4^{0,5} > 0,4^{0,6}$.

3) Сравним $1$ и $(\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$. Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Представим 1 как $(\frac{4}{3})^0$. Теперь нам нужно сравнить $(\frac{4}{3})^0$ и $(\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$. Основание степени $a = \frac{4}{3} > 1$, поэтому показательная функция $y=(\frac{4}{3})^x$ является возрастающей. Сравним показатели: $0 < \frac{1}{2}$. Следовательно, $(\frac{4}{3})^0 < (\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$, что означает $1 < (\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $1 < (\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$.

4) Сравним $0,22^{-2}$ и $1$. Представим $1$ как $0,22^0$. Теперь сравним $0,22^{-2}$ и $0,22^0$. Основание степени $a=0,22$, и $0 < 0,22 < 1$. Следовательно, показательная функция $y=0,22^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $-2 < 0$. Так как функция убывающая, знак неравенства для значений степеней будет противоположным: $0,22^{-2} > 0,22^0$. Таким образом, $0,22^{-2} > 1$.
Ответ: $0,22^{-2} > 1$.

5) Сравним $(\sqrt{5})^{\frac{1}{2}}$ и $(\sqrt{5})^{\frac{1}{3}}$. Основание степени $a=\sqrt{5}$. Так как $5 > 1$, то и $\sqrt{5} > 1$. Значит, показательная функция $y=(\sqrt{5})^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приводя к общему знаменателю, получаем $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ и $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Так как $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, то $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Поскольку функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение: $(\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} > (\sqrt{5})^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $(\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} > (\sqrt{5})^{\frac{1}{3}}$.

6) Сравним $(\sqrt{2}-1)^{-1,4}$ и $(\sqrt{2}-1)^{-1,5}$. Основание степени $a=\sqrt{2}-1$. Оценим значение основания: $1 < \sqrt{2} < 2$, вычитая 1 из всех частей неравенства, получаем $0 < \sqrt{2}-1 < 1$. Так как основание степени находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=(\sqrt{2}-1)^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $-1,4$ и $-1,5$. Так как $-1,4 > -1,5$, а функция убывающая, то знак неравенства меняется на противоположный: $(\sqrt{2}-1)^{-1,4} < (\sqrt{2}-1)^{-1,5}$.
Ответ: $(\sqrt{2}-1)^{-1,4} < (\sqrt{2}-1)^{-1,5}$.