Страница 5 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Постройте график функции:

1) $y = 2^x + 1$;

2) $y = 2^{x-2}$;

3) $y = 3 - 2^x$;

4) $y = |2^x - 3|$.

1) $y = 2^x + 1$

График функции $y = 2^x + 1$ получается из графика базовой показательной функции $y = 2^x$ путем сдвига (параллельного переноса) всего графика на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Построим график по шагам:
1. Базовая функция $y = 2^x$ проходит через точки, например, $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$. Ее горизонтальная асимптота - ось Ox ($y=0$).
2. Сдвигаем график $y = 2^x$ на 1 единицу вверх.
- Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 1+1) = (0, 2)$. Это точка пересечения с осью Oy.
- Точка $(1, 2)$ переходит в точку $(1, 2+1) = (1, 3)$.
- Точка $(-1, 1/2)$ переходит в точку $(-1, 1/2+1) = (-1, 1.5)$.
3. Горизонтальная асимптота $y=0$ также сдвигается на 1 единицу вверх и становится прямой $y=1$.

График представляет собой возрастающую кривую, проходящую через точки $(-1, 1.5)$, $(0, 2)$, $(1, 3)$ и приближающуюся к прямой $y=1$ при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y=2^x+1$ - это график функции $y=2^x$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Он имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ и проходит через точку $(0, 2)$.

2) $y = 2^{x-2}$

График функции $y = 2^{x-2}$ получается из графика базовой функции $y = 2^x$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox).

Построим график по шагам:
1. Базовая функция $y = 2^x$ проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$. Ее асимптота $y=0$.
2. Сдвигаем график $y = 2^x$ на 2 единицы вправо.
- Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0+2, 1) = (2, 1)$.
- Точка $(1, 2)$ переходит в точку $(1+2, 2) = (3, 2)$.
- Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$: $y = 2^{0-2} = 2^{-2} = 1/4 = 0.25$. Точка пересечения с Oy - $(0, 0.25)$.
3. Горизонтальный сдвиг не влияет на горизонтальную асимптоту, поэтому она остается $y=0$.

График - это возрастающая кривая, проходящая через точки $(0, 0.25)$, $(2, 1)$, $(3, 2)$ и приближающаяся к оси Ox при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y=2^{x-2}$ - это график функции $y=2^x$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Он имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ и проходит через точку $(2, 1)$.

3) $y = 3 - 2^x$

Для построения графика функции $y = 3 - 2^x$ (или $y = -2^x + 3$) выполним следующие преобразования с графиком базовой функции $y = 2^x$:
1. Отразим график $y = 2^x$ симметрично относительно оси Ox. Получим график функции $y = -2^x$.
2. Сдвинем полученный график $y = -2^x$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Построим по точкам:
1. Возьмем точки на графике $y=2^x$: $(0, 1)$ и $(1, 2)$.
2. Отразим их относительно оси Ox: $(0, -1)$ и $(1, -2)$.
3. Сдвинем их на 3 вверх:
- Точка $(0, -1)$ переходит в $(0, -1+3) = (0, 2)$. Это точка пересечения с Oy.
- Точка $(1, -2)$ переходит в $(1, -2+3) = (1, 1)$.
4. Горизонтальная асимптота $y=0$ для $y=2^x$ после отражения не меняется, а после сдвига вверх на 3 становится прямой $y=3$.
5. Найдем точку пересечения с осью Ox, приравняв $y$ к нулю: $0 = 3 - 2^x \Rightarrow 2^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3 \approx 1.58$. Точка пересечения с Ox - $(\log_2 3, 0)$.

График представляет собой убывающую кривую, проходящую через точки $(\log_2 3, 0)$, $(0, 2)$, $(1, 1)$ и приближающуюся к прямой $y=3$ при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y=3-2^x$ - это график функции $y=2^x$, отраженный относительно оси Ox и сдвинутый на 3 единицы вверх. Он имеет горизонтальную асимптоту $y=3$ и проходит через точку $(0, 2)$.

4) $y = |2^x - 3|$

Для построения графика функции $y = |2^x - 3|$ сначала построим график функции, стоящей под знаком модуля: $g(x) = 2^x - 3$.

Шаг 1: Построение графика $g(x) = 2^x - 3$.
Этот график получается из графика $y=2^x$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.
- Горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=-3$.
- Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $g(0) = 2^0 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(0, -2)$.
- Точка пересечения с осью Ox: при $g(x)=0$, $2^x - 3 = 0 \Rightarrow 2^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3$. Точка $(\log_2 3, 0)$.

Шаг 2: Применение модуля.
График функции $y = |g(x)|$ получается из графика $g(x)$ следующим образом:
- Часть графика $g(x)$, которая находится выше или на оси Ox (где $g(x) \ge 0$), остается без изменений. Это происходит при $x \ge \log_2 3$.
- Часть графика $g(x)$, которая находится ниже оси Ox (где $g(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси Ox. Это происходит при $x < \log_2 3$.

Результат:
- При $x \ge \log_2 3$, график совпадает с $y = 2^x - 3$.
- При $x < \log_2 3$, график совпадает с $y = -(2^x - 3) = 3 - 2^x$.
- Точка $(\log_2 3, 0)$ является точкой излома графика.
- Точка пересечения с осью Oy: $y = |2^0 - 3| = |-2| = 2$. Точка $(0, 2)$.
- Горизонтальная асимптота для части графика при $x < \log_2 3$ (где $y=3-2^x$) будет $y=3$. При $x \to +\infty$ график уходит в бесконечность.

График имеет V-образную форму с изломом в точке $(\log_2 3, 0)$. Левая ветвь приближается к асимптоте $y=3$, а правая ветвь экспоненциально растет.

Ответ: Для построения графика $y=|2^x-3|$ нужно построить график $y=2^x-3$, а затем часть графика, лежащую под осью Ox, отразить симметрично относительно оси Ox. График имеет излом в точке $(\log_2 3, 0)$ и горизонтальную асимптоту $y=3$ при $x \to -\infty$.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 9^{\sin x},$

2) $y = \left(\frac{1}{9}\right)^{|\cos x|} + 1.$

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 9^{\sin x}$, необходимо исследовать область значений показателя степени.

Функция $y = 9^t$ является показательной с основанием $a=9$. Так как основание больше единицы ($9 > 1$), функция является монотонно возрастающей. Это означает, что наибольшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении показателя $\sin x$, а наименьшее значение — при наименьшем значении показателя.

Область значений функции синус известна: $-1 \le \sin x \le 1$.

Следовательно, наименьшее значение показателя равно $-1$, а наибольшее равно $1$.

Наименьшее значение функции $y$ будет:

$y_{наим} = 9^{\min(\sin x)} = 9^{-1} = \frac{1}{9}$.

Наибольшее значение функции $y$ будет:

$y_{наиб} = 9^{\max(\sin x)} = 9^1 = 9$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно $\frac{1}{9}$, наибольшее значение равно $9$.

2) Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{9}\right)^{|\cos x|} + 1$.

Это показательная функция $f(t) = \left(\frac{1}{9}\right)^t$ с основанием $a = \frac{1}{9}$. Так как основание находится в интервале $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей. Это означает, что наибольшее значение $f(t)$ достигается при наименьшем значении показателя $t$, а наименьшее — при наибольшем значении $t$. Функция $y$ будет вести себя так же, поскольку к ней добавляется константа, что лишь сдвигает график по вертикали, не меняя характер монотонности.

Показателем степени является выражение $|\cos x|$. Найдем его область значений.

Область значений косинуса: $-1 \le \cos x \le 1$.

Применяя модуль, получаем, что область значений для $|\cos x|$ — это отрезок $[0; 1]$.

Итак, $0 \le |\cos x| \le 1$.

Наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении показателя, то есть при $|\cos x| = 0$:

$y_{наиб} = \left(\frac{1}{9}\right)^{0} + 1 = 1 + 1 = 2$.

Наименьшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении показателя, то есть при $|\cos x| = 1$:

$y_{наим} = \left(\frac{1}{9}\right)^{1} + 1 = \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9}$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно $\frac{10}{9}$, наибольшее значение равно $2$.

10. Решите уравнение:

1) $2^x = 128$;

2) $3^{5x+1} = 3^{2x}$;

3) $5^{x^2-5x-14} = 1$;

4) $4^x = 8$;

5) $\left(\frac{3}{2}\right)^{1-2x} = \left(\frac{8}{27}\right)^{x+3}$;

6) $(10^{x-5})^{x-6} = 100$;

7) $\left(\frac{4}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{35}{12}\right)^x = \frac{9}{49}$;

8) $3^{4x-x^2} = 17^{4x-x^2}$;

9) $4^x \cdot 5^{x-1} = 0.2 \cdot 20^{3-2x}$;

10) $\sqrt{27^{x-1}} = \sqrt[3]{9^{2-x}}$.

1) $2^x = 128$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2. Поскольку $128 = 2^7$, уравнение принимает вид:

$2^x = 2^7$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 7$

Ответ: 7

2) $3^{5x+1} = 3^{2x}$

В данном уравнении основания степеней в левой и правой частях уже равны (оба равны 3). Поэтому мы можем приравнять показатели степеней:

$5x + 1 = 2x$

Решим полученное линейное уравнение:

$5x - 2x = -1$

$3x = -1$

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

3) $5^{x^2 - 5x - 14} = 1$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Представим 1 как $5^0$:

$5^{x^2 - 5x - 14} = 5^0$

Теперь, когда основания степеней равны, приравниваем показатели:

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; 7

4) $4^x = 8$

Чтобы решить это уравнение, приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$(2^2)^x = 2^3$

$2^{2x} = 2^3$

Приравниваем показатели степеней:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1,5

5) $(\frac{3}{2})^{1-2x} = (\frac{8}{27})^{x+3}$

Приведем правую часть уравнения к основанию $\frac{3}{2}$.

$\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$

Так как $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$, то $(\frac{2}{3})^3 = ((\frac{3}{2})^{-1})^3 = (\frac{3}{2})^{-3}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$(\frac{3}{2})^{1-2x} = ((\frac{3}{2})^{-3})^{x+3}$

$(\frac{3}{2})^{1-2x} = (\frac{3}{2})^{-3(x+3)}$

Приравниваем показатели:

$1 - 2x = -3(x+3)$

$1 - 2x = -3x - 9$

$3x - 2x = -9 - 1$

$x = -10$

Ответ: -10

6) $(10^{x-5})^{x-6} = 100$

Упростим левую часть по свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и представим правую часть как степень 10:

$10^{(x-5)(x-6)} = 10^2$

Приравниваем показатели:

$(x-5)(x-6) = 2$

Раскроем скобки и решим квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 5x + 30 = 2$

$x^2 - 11x + 28 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9$.

$x_1 = \frac{11 + \sqrt{9}}{2} = \frac{11 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{11 - \sqrt{9}}{2} = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ: 4; 7

7) $(\frac{4}{5})^x \cdot (\frac{35}{12})^x = \frac{9}{49}$

Используем свойство степеней $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$ для левой части:

$(\frac{4}{5} \cdot \frac{35}{12})^x = \frac{9}{49}$

Упростим выражение в скобках:

$(\frac{4 \cdot 35}{5 \cdot 12})^x = (\frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 3})^x = (\frac{7}{3})^x$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{7}{3})^x = \frac{9}{49}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{7}{3}$:

$\frac{9}{49} = \frac{3^2}{7^2} = (\frac{3}{7})^2 = ((\frac{7}{3})^{-1})^2 = (\frac{7}{3})^{-2}$

Получаем уравнение:

$(\frac{7}{3})^x = (\frac{7}{3})^{-2}$

Отсюда $x = -2$.

Ответ: -2

8) $3^{4x-x^2} = 17^{4x-x^2}$

Разделим обе части уравнения на $17^{4x-x^2}$ (это выражение всегда положительно и не равно нулю):

$\frac{3^{4x-x^2}}{17^{4x-x^2}} = 1$

$(\frac{3}{17})^{4x-x^2} = 1$

Равенство $a^y=1$ (где $a \ne 1$) выполняется только тогда, когда показатель степени $y=0$.

Следовательно, приравниваем показатель к нулю:

$4x - x^2 = 0$

$x(4 - x) = 0$

Это равенство верно, если $x=0$ или $4-x=0$, то есть $x=4$.

Ответ: 0; 4

9) $4^x \cdot 5^{x-1} = 0.2 \cdot 20^{3-2x}$

Приведем все степени к простым основаниям (2 и 5). Заметим, что $4=2^2$, $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.

$(2^2)^x \cdot 5^{x-1} = 5^{-1} \cdot (2^2 \cdot 5)^{3-2x}$

$2^{2x} \cdot 5^{x-1} = 5^{-1} \cdot (2^2)^{3-2x} \cdot 5^{3-2x}$

$2^{2x} \cdot 5^{x-1} = 5^{-1} \cdot 2^{6-4x} \cdot 5^{3-2x}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в правой части:

$2^{2x} \cdot 5^{x-1} = 2^{6-4x} \cdot 5^{-1 + 3 - 2x}$

$2^{2x} \cdot 5^{x-1} = 2^{6-4x} \cdot 5^{2-2x}$

Разделим обе части так, чтобы с одной стороны были степени с основанием 2, а с другой — с основанием 5:

$\frac{2^{2x}}{2^{6-4x}} = \frac{5^{2-2x}}{5^{x-1}}$

$2^{2x - (6-4x)} = 5^{2-2x - (x-1)}$

$2^{6x-6} = 5^{3-3x}$

Преобразуем показатели:

$2^{6(x-1)} = 5^{-3(x-1)}$

$(2^6)^{x-1} = (5^{-3})^{x-1}$

$64^{x-1} = (\frac{1}{125})^{x-1}$

Так как основания $64$ и $\frac{1}{125}$ не равны, равенство возможно только если показатель степени равен нулю.

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Ответ: 1

10) $\sqrt{27^{x-1}} = \sqrt[3]{9^{2-x}}$

Представим корни в виде степеней с дробными показателями:

$(27^{x-1})^{\frac{1}{2}} = (9^{2-x})^{\frac{1}{3}}$

Приведем основания 27 и 9 к общему основанию 3:

$27 = 3^3$, $9 = 3^2$.

$((3^3)^{x-1})^{\frac{1}{2}} = ((3^2)^{2-x})^{\frac{1}{3}}$

Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{3(x-1) \cdot \frac{1}{2}} = 3^{2(2-x) \cdot \frac{1}{3}}$

$3^{\frac{3(x-1)}{2}} = 3^{\frac{2(2-x)}{3}}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{3(x-1)}{2} = \frac{2(2-x)}{3}$

Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

$3 \cdot 3(x-1) = 2 \cdot 2(2-x)$

$9(x-1) = 4(2-x)$

$9x - 9 = 8 - 4x$

$9x + 4x = 8 + 9$

$13x = 17$

$x = \frac{17}{13}$

Ответ: $\frac{17}{13}$

11. Решите уравнение:

1) $4^{x+1} + 4^x = 320$;

2) $3^{x+2} + 4 \cdot 3^{x-1} = 279$;

3) $2 \cdot 7^{x+1} - 6 \cdot 7^{x-1} - 7^x = 85$;

4) $2 \cdot 16^x - 3 \cdot 2^{4x-1} + 7 \cdot 4^{2x-2} = 120$;

5) $6^x - 5 \cdot 6^{x-1} - 25 \cdot 6^{x-3} = 11^{x-1} - 9 \cdot 11^{x-2} - 16 \cdot 11^{x-3}$;

6) $3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}$.

1)Исходное уравнение: $4^{x+1} + 4^x = 320$.
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$4^x \cdot 4^1 + 4^x = 320$.
Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:
$4^x (4 + 1) = 320$.
$5 \cdot 4^x = 320$.
Разделим обе части на 5:
$4^x = \frac{320}{5}$.
$4^x = 64$.
Представим 64 как степень числа 4:
$64 = 4^3$.
$4^x = 4^3$.
Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:
$x = 3$.
Ответ: $x=3$.

2)Исходное уравнение: $3^{x+2} + 4 \cdot 3^{x-1} = 279$.
Приведем все степени к одному показателю, например, $x-1$:
$3^{x+2} = 3^{(x-1)+3} = 3^{x-1} \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^{x-1}$.
Подставим в уравнение:
$27 \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{x-1} = 279$.
Вынесем общий множитель $3^{x-1}$ за скобки:
$3^{x-1} (27 + 4) = 279$.
$31 \cdot 3^{x-1} = 279$.
Разделим обе части на 31:
$3^{x-1} = \frac{279}{31}$.
$3^{x-1} = 9$.
Представим 9 как степень числа 3:
$3^{x-1} = 3^2$.
Приравниваем показатели:
$x - 1 = 2$.
$x = 3$.
Ответ: $x=3$.

3)Исходное уравнение: $2 \cdot 7^{x+1} - 6 \cdot 7^{x-1} - 7^x = 85$.
Приведем все степени к одному показателю, например, $x-1$:
$7^{x+1} = 7^{(x-1)+2} = 7^{x-1} \cdot 7^2 = 49 \cdot 7^{x-1}$.
$7^x = 7^{(x-1)+1} = 7^{x-1} \cdot 7^1 = 7 \cdot 7^{x-1}$.
Подставим в уравнение:
$2 \cdot (49 \cdot 7^{x-1}) - 6 \cdot 7^{x-1} - 7 \cdot 7^{x-1} = 85$.
Вынесем общий множитель $7^{x-1}$ за скобки:
$7^{x-1} (2 \cdot 49 - 6 - 7) = 85$.
$7^{x-1} (98 - 13) = 85$.
$85 \cdot 7^{x-1} = 85$.
$7^{x-1} = 1$.
Представим 1 как степень числа 7:
$7^{x-1} = 7^0$.
Приравниваем показатели:
$x - 1 = 0$.
$x = 1$.
Ответ: $x=1$.

4)Исходное уравнение: $2 \cdot 16^x - 3 \cdot 2^{4x-1} + 7 \cdot 4^{2x-2} = 120$.
Приведем все степени к одному основанию 2:
$16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$.
$4^{2x-2} = (2^2)^{2x-2} = 2^{2(2x-2)} = 2^{4x-4}$.
Подставим в уравнение:
$2 \cdot 2^{4x} - 3 \cdot 2^{4x-1} + 7 \cdot 2^{4x-4} = 120$.
Вынесем за скобки множитель с наименьшим показателем $2^{4x-4}$:
$2^{4x-4} (2 \cdot 2^4 - 3 \cdot 2^3 + 7 \cdot 2^0) = 120$.
$2^{4x-4} (2 \cdot 16 - 3 \cdot 8 + 7 \cdot 1) = 120$.
$2^{4x-4} (32 - 24 + 7) = 120$.
$2^{4x-4} (15) = 120$.
$2^{4x-4} = \frac{120}{15}$.
$2^{4x-4} = 8$.
Представим 8 как степень числа 2:
$2^{4x-4} = 2^3$.
Приравниваем показатели:
$4x - 4 = 3$.
$4x = 7$.
$x = \frac{7}{4}$.
Ответ: $x=\frac{7}{4}$.

5)Исходное уравнение: $6^x - 5 \cdot 6^{x-1} - 25 \cdot 6^{x-3} = 11^{x-1} - 9 \cdot 11^{x-2} - 16 \cdot 11^{x-3}$.
Упростим левую часть, вынеся за скобки $6^{x-3}$:
$6^{x-3}(6^3 - 5 \cdot 6^2 - 25) = 6^{x-3}(216 - 5 \cdot 36 - 25) = 6^{x-3}(216 - 180 - 25) = 11 \cdot 6^{x-3}$.
Упростим правую часть, вынеся за скобки $11^{x-3}$:
$11^{x-3}(11^2 - 9 \cdot 11^1 - 16) = 11^{x-3}(121 - 99 - 16) = 11^{x-3}(22 - 16) = 6 \cdot 11^{x-3}$.
Получаем уравнение:
$11 \cdot 6^{x-3} = 6 \cdot 11^{x-3}$.
Разделим обе части уравнения на $11^{x-3}$ и на 11 (эти выражения не равны нулю):
$\frac{6^{x-3}}{11^{x-3}} = \frac{6}{11}$.
$(\frac{6}{11})^{x-3} = (\frac{6}{11})^1$.
Приравниваем показатели:
$x - 3 = 1$.
$x = 4$.
Ответ: $x=4$.

6)Исходное уравнение: $3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}$.
Сгруппируем слагаемые с основанием 9 в левой части, а с основанием 4 — в правой:
$\frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} + \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1} = 6 \cdot 4^{x+1} - 3 \cdot 4^x$.
Упростим левую часть:
$\frac{1}{3} \cdot 9^{x+1} \cdot 9^1 + \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1} = 3 \cdot 9^{x+1} + \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1} = (3 + \frac{1}{2}) \cdot 9^{x+1} = \frac{7}{2} \cdot 9^{x+1}$.
Упростим правую часть:
$6 \cdot 4^x \cdot 4^1 - 3 \cdot 4^x = 24 \cdot 4^x - 3 \cdot 4^x = (24-3) \cdot 4^x = 21 \cdot 4^x$.
Получаем уравнение:
$\frac{7}{2} \cdot 9^{x+1} = 21 \cdot 4^x$.
$\frac{7}{2} \cdot 9^x \cdot 9 = 21 \cdot 4^x$.
$\frac{63}{2} \cdot 9^x = 21 \cdot 4^x$.
Разделим обе части на $4^x$ (не равно нулю) и на $\frac{63}{2}$:
$\frac{9^x}{4^x} = 21 \cdot \frac{2}{63}$.
$(\frac{9}{4})^x = \frac{42}{63}$.
Сократим дробь в правой части: $\frac{42}{63} = \frac{2 \cdot 21}{3 \cdot 21} = \frac{2}{3}$.
$(\frac{3^2}{2^2})^x = \frac{2}{3}$.
$((\frac{3}{2})^2)^x = \frac{2}{3}$.
$(\frac{3}{2})^{2x} = (\frac{3}{2})^{-1}$.
Приравниваем показатели:
$2x = -1$.
$x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x=-\frac{1}{2}$.

12. Решите уравнение:

1) $2^{2x} - 10 \cdot 2^x + 16 = 0;$

2) $3 \cdot 81^x - 8 \cdot 9^x - 3 = 0;$

3) $2^{2x+6} + 2^{x+7} = 17;$

4) $49^{x-2} - 56 \cdot 7^{x-3} + 7 = 0;$

5) $\frac{9}{4^{x-1} - 1} - \frac{6}{4^{x-1} + 2} = 2;$

6) $3^x - 3^{2-x} - 8 = 0;$

7) $3^{\sin^2 x} + 3^{\cos^2 x} = 4;$

8) $\left(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\right)^x + \left(\sqrt{5-2\sqrt{6}}\right)^x = 10.$

1) $2^{2x} - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$
Данное уравнение является показательным. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 10t + 16 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение равно 16. Отсюда находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 8$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену:
1. Если $t = 2$, то $2^x = 2$. Отсюда $2^x = 2^1$, следовательно, $x = 1$.
2. Если $t = 8$, то $2^x = 8$. Отсюда $2^x = 2^3$, следовательно, $x = 3$.
Ответ: $1; 3$.

2) $3 \cdot 81^x - 8 \cdot 9^x - 3 = 0$
Приведем степени к одному основанию. Так как $81 = 9^2$, то $81^x = (9^2)^x = (9^x)^2$.
Уравнение принимает вид: $3 \cdot (9^x)^2 - 8 \cdot 9^x - 3 = 0$.
Сделаем замену $t = 9^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - 8t - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.
Корни уравнения: $t = \frac{8 \pm 10}{2 \cdot 3}$.
$t_1 = \frac{18}{6} = 3$.
$t_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Условию $t > 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = 3$.
Вернемся к замене: $9^x = 3$.
$(3^2)^x = 3^1 \implies 3^{2x} = 3^1$.
$2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $0,5$.

3) $2^{2x+6} + 2^{x+7} = 17$
Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:
$2^{2x} \cdot 2^6 + 2^x \cdot 2^7 = 17$
$64 \cdot (2^x)^2 + 128 \cdot 2^x - 17 = 0$
Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.
$64t^2 + 128t - 17 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 128^2 - 4 \cdot 64 \cdot (-17) = 16384 + 4352 = 20736 = 144^2$.
Корни уравнения: $t = \frac{-128 \pm 144}{2 \cdot 64} = \frac{-128 \pm 144}{128}$.
$t_1 = \frac{-128 + 144}{128} = \frac{16}{128} = \frac{1}{8}$.
$t_2 = \frac{-128 - 144}{128} = \frac{-272}{128} < 0$.
Условию $t > 0$ удовлетворяет только $t_1 = \frac{1}{8}$.
Выполним обратную замену: $2^x = \frac{1}{8}$.
$2^x = 2^{-3} \implies x = -3$.
Ответ: $-3$.

4) $49^{x-2} - 56 \cdot 7^{x-3} + 7 = 0$
Преобразуем степени, чтобы выделить общий член. Заметим, что $49 = 7^2$.
$49^{x-2} = (7^2)^{x-2} = 7^{2(x-2)} = 7^{2x-4}$.
Чтобы привести к общему показателю $x-3$, представим $2x-4$ как $2(x-3)+2$.
$7^{2x-4} = 7^{2(x-3)+2} = 7^{2(x-3)} \cdot 7^2 = 49 \cdot (7^{x-3})^2$.
Уравнение принимает вид:
$49 \cdot (7^{x-3})^2 - 56 \cdot 7^{x-3} + 7 = 0$
Разделим обе части на 7: $7 \cdot (7^{x-3})^2 - 8 \cdot 7^{x-3} + 1 = 0$.
Сделаем замену $t = 7^{x-3}$, где $t > 0$.
$7t^2 - 8t + 1 = 0$
Корни этого квадратного уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{7}$. Оба корня положительны.
Выполним обратную замену:
1. Если $t = 1$, то $7^{x-3} = 1$. Отсюда $7^{x-3} = 7^0$, следовательно, $x-3=0 \implies x=3$.
2. Если $t = \frac{1}{7}$, то $7^{x-3} = \frac{1}{7}$. Отсюда $7^{x-3} = 7^{-1}$, следовательно, $x-3=-1 \implies x=2$.
Ответ: $2; 3$.

5) $\frac{9}{4^{x-1}-1} - \frac{6}{4^{x-1}+2} = 2$
Сделаем замену $t = 4^{x-1}$. Так как $t$ - значение показательной функции, $t > 0$.
Также знаменатели не должны быть равны нулю: $t-1 \neq 0 \implies t \neq 1$.
Уравнение принимает вид: $\frac{9}{t-1} - \frac{6}{t+2} = 2$.
Приведем к общему знаменателю $(t-1)(t+2)$:
$9(t+2) - 6(t-1) = 2(t-1)(t+2)$
$9t + 18 - 6t + 6 = 2(t^2 + t - 2)$
$3t + 24 = 2t^2 + 2t - 4$
$2t^2 - t - 28 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-28) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.
Корни: $t = \frac{1 \pm 15}{4}$.
$t_1 = \frac{1+15}{4} = 4$.
$t_2 = \frac{1-15}{4} = -3.5$.
Условиям $t > 0$ и $t \neq 1$ удовлетворяет только $t_1 = 4$.
Выполним обратную замену: $4^{x-1} = 4$.
$4^{x-1} = 4^1 \implies x-1 = 1 \implies x = 2$.
Ответ: $2$.

6) $3^x - 3^{2-x} - 8 = 0$
Преобразуем второй член: $3^{2-x} = 3^2 \cdot 3^{-x} = \frac{9}{3^x}$.
Уравнение принимает вид: $3^x - \frac{9}{3^x} - 8 = 0$.
Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.
$t - \frac{9}{t} - 8 = 0$
Умножим обе части на $t$ (так как $t>0$, то $t \neq 0$):
$t^2 - 9 - 8t = 0 \implies t^2 - 8t - 9 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Условию $t > 0$ удовлетворяет только $t_1 = 9$.
Выполним обратную замену: $3^x = 9$.
$3^x = 3^2 \implies x = 2$.
Ответ: $2$.

7) $3^{\sin^2 x} + 3^{\cos^2 x} = 4$
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
$3^{\sin^2 x} + 3^{1-\sin^2 x} = 4$
$3^{\sin^2 x} + \frac{3}{3^{\sin^2 x}} = 4$
Сделаем замену $t = 3^{\sin^2 x}$. Поскольку $0 \le \sin^2 x \le 1$, то $3^0 \le 3^{\sin^2 x} \le 3^1$, то есть $1 \le t \le 3$.
Уравнение принимает вид: $t + \frac{3}{t} = 4$.
$t^2 + 3 = 4t \implies t^2 - 4t + 3 = 0$.
Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $1 \le t \le 3$.
Выполним обратную замену:
1. Если $t=1$, то $3^{\sin^2 x} = 1 = 3^0$. Отсюда $\sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Если $t=3$, то $3^{\sin^2 x} = 3 = 3^1$. Отсюда $\sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя обе серии решений, получаем $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

8) $(\sqrt{5+2\sqrt{6}})^x + (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^x = 10$
Упростим выражения под корнем, выделив полный квадрат. $5+2\sqrt{6} = 3 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.
$5-2\sqrt{6} = 3 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 2 = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.
Тогда $\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.
И $\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.
Уравнение принимает вид: $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^x = 10$.
Заметим, что $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3-2=1$. Отсюда $\sqrt{3}-\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1}$.
Сделаем замену $t = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^x$, где $t > 0$.
Уравнение примет вид: $t + t^{-1} = 10 \implies t + \frac{1}{t} = 10$.
$t^2 - 10t + 1 = 0$.
Решим квадратное уравнение: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 96$. $\sqrt{D} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$.
$t = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$.
Оба корня положительны.
Выполним обратную замену:
1. $t = 5+2\sqrt{6}$. Тогда $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = 5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$. Отсюда $x=2$.
2. $t = 5-2\sqrt{6}$. Тогда $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = 5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1})^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-2}$. Отсюда $x=-2$.
Ответ: $\pm 2$.