Страница 9 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

32. Сравните числа $a$ и $b$, если:

1) $\log_{2.6} a > \log_{2.6} b;$

2) $\log_{\frac{3}{7}} a \le \log_{\frac{3}{7}} b.$

1) Рассмотрим неравенство $\log_{2.6} a > \log_{2.6} b$. Функция $y = \log_{c} x$ является возрастающей, если ее основание $c > 1$. В данном случае основание логарифма равно $2.6$, и так как $2.6 > 1$, то функция $y = \log_{2.6} x$ является возрастающей. Для возрастающей функции, если значение функции для одного аргумента больше, чем для другого, то и сам первый аргумент больше второго. Следовательно, из неравенства $\log_{2.6} a > \log_{2.6} b$ следует, что $a > b$. Также необходимо учесть область определения логарифма: $a > 0$ и $b > 0$.
Ответ: $a > b$.

2) Рассмотрим неравенство $\log_{\frac{3}{7}} a \le \log_{\frac{3}{7}} b$. Функция $y = \log_{c} x$ является убывающей, если ее основание $0 < c < 1$. В данном случае основание логарифма равно $\frac{3}{7}$, и так как $0 < \frac{3}{7} < 1$, то функция $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ является убывающей. Для убывающей функции знак неравенства при переходе от логарифмов к их аргументам меняется на противоположный. Следовательно, из неравенства $\log_{\frac{3}{7}} a \le \log_{\frac{3}{7}} b$ следует, что $a \ge b$. Также необходимо учесть область определения логарифма: $a > 0$ и $b > 0$.
Ответ: $a \ge b$.

33. Сравните с нулём:

1) $ \log_3 7; $

2) $ \log_5 0,6; $

3) $ \log_{\frac{2}{3}} 0,1; $

4) $ \log_{\frac{1}{2}} 3. $

Для сравнения значения логарифма $log_a b$ с нулём, необходимо проанализировать основание логарифма $a$ и его аргумент $b$. Знак логарифма определяется по следующим правилам, основанным на свойстве монотонности логарифмической функции и том, что $log_a 1 = 0$:

• Если основание $a > 1$ (функция возрастающая):
  • при аргументе $b > 1$, значение логарифма $log_a b > 0$.
  • при аргументе $0 < b < 1$, значение логарифма $log_a b < 0$.
• Если основание $0 < a < 1$ (функция убывающая):
  • при аргументе $b > 1$, значение логарифма $log_a b < 0$.
  • при аргументе $0 < b < 1$, значение логарифма $log_a b > 0$.

Применим эти правила к каждому из выражений.

1) $log_3 7$

Основание $a = 3$, что больше 1 ($a > 1$). Аргумент $b = 7$, что также больше 1 ($b > 1$).

Поскольку основание больше 1, а аргумент больше 1, значение логарифма положительно.

Ответ: $log_3 7 > 0$.

2) $log_5 0,6$

Основание $a = 5$, что больше 1 ($a > 1$). Аргумент $b = 0,6$, что меньше 1 ($0 < b < 1$).

Поскольку основание больше 1, а аргумент меньше 1, значение логарифма отрицательно.

Ответ: $log_5 0,6 < 0$.

3) $log_{\frac{2}{3}} 0,1$

Основание $a = \frac{2}{3}$, что меньше 1 ($0 < a < 1$). Аргумент $b = 0,1$, что также меньше 1 ($0 < b < 1$).

Поскольку и основание, и аргумент меньше 1, значение логарифма положительно.

Ответ: $log_{\frac{2}{3}} 0,1 > 0$.

4) $log_{\frac{1}{2}} 3$

Основание $a = \frac{1}{2}$, что меньше 1 ($0 < a < 1$). Аргумент $b = 3$, что больше 1 ($b > 1$).

Поскольку основание меньше 1, а аргумент больше 1, значение логарифма отрицательно.

Ответ: $log_{\frac{1}{2}} 3 < 0$.

34. Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) $\log_a 10 < \log_a 9.6;$

2) $\log_a 0.4 > \log_a 0.3.$

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство монотонности логарифмической функции $y = \log_a(x)$. Поведение функции зависит от её основания $a$ (которое по определению должно быть $a > 0$ и $a \ne 1$).

• Если основание логарифма больше единицы ($a > 1$), то логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть, если $x_2 > x_1$, то $\log_a(x_2) > \log_a(x_1)$. Знак неравенства сохраняется.
• Если основание логарифма находится между нулём и единицей ($0 < a < 1$), то логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть, если $x_2 > x_1$, то $\log_a(x_2) < \log_a(x_1)$. Знак неравенства меняется на противоположный.

1) Дано неравенство $\log_a(10) < \log_a(9,6)$.

Сравним аргументы логарифмов: $10$ и $9,6$.

Очевидно, что $10 > 9,6$.

По условию задачи, $\log_a(10) < \log_a(9,6)$.

Мы видим, что большему значению аргумента ($10$) соответствует меньшее значение логарифма. Знак неравенства для аргументов ($>$) противоположен знаку неравенства для логарифмов ($<$). Такое свойство характерно для убывающей функции.

Следовательно, основание логарифма $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

Ответ: основание логарифма меньше единицы ($0 < a < 1$).

2) Дано неравенство $\log_a(0,4) > \log_a(0,3)$.

Сравним аргументы логарифмов: $0,4$ и $0,3$.

Очевидно, что $0,4 > 0,3$.

По условию задачи, $\log_a(0,4) > \log_a(0,3)$.

В этом случае большему значению аргумента ($0,4$) соответствует большее значение логарифма. Знак неравенства для аргументов ($>$) совпадает со знаком неравенства для логарифмов ($>$). Такое свойство характерно для возрастающей функции.

Следовательно, основание логарифма $a$ удовлетворяет условию $a > 1$.

Ответ: основание логарифма больше единицы ($a > 1$).

35. На каком промежутке наибольшее значение функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ равно 0, а наименьшее равно $-2$?

Дана функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$.

Основание логарифма равно $\frac{1}{3}$. Так как основание меньше 1 ($0 < \frac{1}{3} < 1$), логарифмическая функция является монотонно убывающей на всей своей области определения ($x > 0$).

Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$, и наоборот, меньшему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Пусть искомый промежуток — это $[a, b]$. На этом промежутке функция принимает все значения от наименьшего до наибольшего. Поскольку функция убывающая, наибольшее значение она будет принимать в левой границе промежутка (при $x=a$), а наименьшее — в правой границе (при $x=b$).

По условию задачи:
Наибольшее значение функции равно 0. Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}} a = 0$.
Наименьшее значение функции равно -2. Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}} b = -2$.

Решим эти два уравнения, чтобы найти границы промежутка $a$ и $b$.

1. Найдем $a$:
$\log_{\frac{1}{3}} a = 0$
По определению логарифма:
$a = (\frac{1}{3})^0$
$a = 1$

2. Найдем $b$:
$\log_{\frac{1}{3}} b = -2$
По определению логарифма:
$b = (\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^{(-1) \cdot (-2)} = 3^2$
$b = 9$

Таким образом, искомый промежуток, на котором наибольшее значение функции равно 0, а наименьшее равно -2, — это отрезок от 1 до 9.

Ответ: $[1; 9]$

36. Установите соответствие между функциями, записанными в левом столбце, и их областями определения, записанными в правом столбце.

Функции

А) $y = \log_5 (4 - x)$

Б) $y = \log_x (4 - x)$

В) $y = \log_{4-x} x$

Г) $y = \log_{4-x} 5$

Области определения

1) $(-\infty; 4)$

2) $(-\infty; 3) \cup (3; 4)$

3) $(0; 1) \cup (1; 4)$

4) $(0; 3) \cup (3; 4)$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А

Б

В

Г

Для нахождения области определения логарифмической функции $y = \log_b(a)$ необходимо, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $a > 0$.
• Основание логарифма должно быть строго положительным: $b > 0$.
• Основание логарифма не должно быть равно единице: $b \neq 1$.

Применим эти правила для каждой из предложенных функций.

А) $y = \log_5(4-x)$

Основание логарифма $b = 5$ является постоянной величиной. Оно удовлетворяет условиям $5 > 0$ и $5 \neq 1$.
Следовательно, необходимо выполнить только условие для аргумента:
$4 - x > 0$
$-x > -4$
$x < 4$
Область определения — это интервал $(-\infty; 4)$, что соответствует варианту 1).
Ответ: 1

Б) $y = \log_x(4-x)$

Для данной функции необходимо выполнение системы условий:
$\begin{cases} 4 - x > 0 & \text{(аргумент > 0)} \\ x > 0 & \text{(основание > 0)} \\ x \neq 1 & \text{(основание $\neq$ 1)} \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем $x \in (0; 4)$ при $x \neq 1$.
Область определения — это объединение интервалов $(0; 1) \cup (1; 4)$, что соответствует варианту 3).
Ответ: 3

В) $y = \log_{4-x} x$

Для данной функции необходимо выполнение системы условий:
$\begin{cases} x > 0 & \text{(аргумент > 0)} \\ 4 - x > 0 & \text{(основание > 0)} \\ 4 - x \neq 1 & \text{(основание $\neq$ 1)} \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} x > 0 \\ x < 4 \\ x \neq 3 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем $x \in (0; 4)$ при $x \neq 3$.
Область определения — это объединение интервалов $(0; 3) \cup (3; 4)$, что соответствует варианту 4).
Ответ: 4

Г) $y = \log_{4-x} 5$

Аргумент логарифма $a = 5$ является постоянной величиной и удовлетворяет условию $5 > 0$.
Следовательно, необходимо выполнить только условия для основания:
$\begin{cases} 4 - x > 0 & \text{(основание > 0)} \\ 4 - x \neq 1 & \text{(основание $\neq$ 1)} \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} x < 4 \\ x \neq 3 \end{cases}$
Область определения — это объединение интервалов $(-\infty; 3) \cup (3; 4)$, что соответствует варианту 2).
Ответ: 2

Итоговая таблица соответствия:

37. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_{0,2}(2x - 7);$

2) $y = \lg(4 - x^2);$

3) $y = \log_9(x + 9) + 2\log_8(10 - x);$

4) $y = \frac{7}{\log_2(x + 4)};$

5) $y = \log_{x-1}(5 - x);$

6) $y = \lg(12 + x - x^2) + \frac{1}{\lg(2 - x)}.$

1) $y = \log_{0.2}(2x - 7)$

Область определения логарифмической функции определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Основание логарифма $0.2$ является константой, удовлетворяющей условиям ($0.2 > 0$ и $0.2 \neq 1$).

Следовательно, необходимо решить неравенство:

$2x - 7 > 0$

$2x > 7$

$x > \frac{7}{2}$

$x > 3.5$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие $3.5$.

Ответ: $(3.5; +\infty)$

2) $y = \lg(4 - x^2)$

Десятичный логарифм $\lg$ — это логарифм по основанию 10. Условие для области определения то же: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

Решим неравенство:

$4 - x^2 > 0$

$x^2 < 4$

Это неравенство эквивалентно $|x| < 2$, что означает, что $x$ находится между $-2$ и $2$.

$-2 < x < 2$

Область определения функции — это интервал от $-2$ до $2$.

Ответ: $(-2; 2)$

3) $y = \log_9(x + 9) + 2\log_8(10 - x)$

Функция представляет собой сумму двух логарифмических функций. Область определения такой функции является пересечением областей определения каждого из слагаемых. Поэтому выражения под обоими знаками логарифма должны быть положительными.

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} x+9>0 \\ 10-x>0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > -9$.

Из второго неравенства получаем $x < 10$.

Общим решением системы является пересечение этих двух условий:

$-9 < x < 10$

Ответ: $(-9; 10)$

4) $y = \frac{7}{\log_2(x + 4)}$

Для данной функции необходимо учесть два условия:

1. Выражение под знаком логарифма в знаменателе должно быть положительным: $x + 4 > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\log_2(x + 4) \neq 0$.

Составим систему условий:

$\begin{cases} x+4>0 \\ \log_2(x+4) \neq 0 \end{cases}$

Решим первое условие: $x > -4$.

Решим второе условие. Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен 1.

$\log_2(x+4) \neq 0 \implies x+4 \neq 2^0 \implies x+4 \neq 1 \implies x \neq -3$.

Объединяя оба условия, получаем, что $x$ должен быть больше $-4$, но не равен $-3$.

Ответ: $(-4; -3) \cup (-3; +\infty)$

5) $y = \log_{x-1}(5 - x)$

В этой функции и основание, и аргумент логарифма зависят от переменной $x$. Область определения определяется тремя условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $5 - x > 0$.

2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $x - 1 > 0$.

3. Основание логарифма не должно равняться единице: $x - 1 \neq 1$.

Составим и решим систему:

$\begin{cases} 5-x>0 \\ x-1>0 \\ x-1 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x<5 \\ x>1 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Объединяя все условия, получаем, что $x$ должен быть в интервале от 1 до 5, за исключением точки $x=2$.

Ответ: $(1; 2) \cup (2; 5)$

6) $y = \lg(12 + x - x^2) + \frac{1}{\lg(2 - x)}$

Область определения этой функции является пересечением областей определения двух слагаемых с учетом всех ограничений.

1. Аргумент первого логарифма должен быть положительным: $12 + x - x^2 > 0$.

2. Аргумент логарифма в знаменателе должен быть положительным: $2 - x > 0$.

3. Знаменатель не должен равняться нулю: $\lg(2 - x) \neq 0$.

Составим систему:

$\begin{cases} 12+x-x^2>0 \\ 2-x>0 \\ \lg(2-x) \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $12 + x - x^2 > 0 \implies x^2 - x - 12 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - x - 12 < 0$ выполняется между корнями: $-3 < x < 4$.

Решим второе неравенство: $2 - x > 0 \implies x < 2$.

Решим третье условие: $\lg(2 - x) \neq 0 \implies 2 - x \neq 10^0 \implies 2 - x \neq 1 \implies x \neq 1$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий: $(-3 < x < 4)$, $(x < 2)$ и $(x \neq 1)$.

Пересечение интервалов $(-3; 4)$ и $(-\infty; 2)$ дает интервал $(-3; 2)$. Из этого интервала нужно исключить точку $x=1$.

Ответ: $(-3; 1) \cup (1; 2)$