Номер 36, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Установите соответствие между функциями, записанными в левом столбце, и их областями определения, записанными в правом столбце.

Функции

А) $y = \log_5 (4 - x)$

Б) $y = \log_x (4 - x)$

В) $y = \log_{4-x} x$

Г) $y = \log_{4-x} 5$

Области определения

1) $(-\infty; 4)$

2) $(-\infty; 3) \cup (3; 4)$

3) $(0; 1) \cup (1; 4)$

4) $(0; 3) \cup (3; 4)$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А

Б

В

Г

Для нахождения области определения логарифмической функции $y = \log_b(a)$ необходимо, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $a > 0$.
• Основание логарифма должно быть строго положительным: $b > 0$.
• Основание логарифма не должно быть равно единице: $b \neq 1$.

Применим эти правила для каждой из предложенных функций.

А) $y = \log_5(4-x)$

Основание логарифма $b = 5$ является постоянной величиной. Оно удовлетворяет условиям $5 > 0$ и $5 \neq 1$.
Следовательно, необходимо выполнить только условие для аргумента:
$4 - x > 0$
$-x > -4$
$x < 4$
Область определения — это интервал $(-\infty; 4)$, что соответствует варианту 1).
Ответ: 1

Б) $y = \log_x(4-x)$

Для данной функции необходимо выполнение системы условий:
$\begin{cases} 4 - x > 0 & \text{(аргумент > 0)} \\ x > 0 & \text{(основание > 0)} \\ x \neq 1 & \text{(основание $\neq$ 1)} \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем $x \in (0; 4)$ при $x \neq 1$.
Область определения — это объединение интервалов $(0; 1) \cup (1; 4)$, что соответствует варианту 3).
Ответ: 3

В) $y = \log_{4-x} x$

Для данной функции необходимо выполнение системы условий:
$\begin{cases} x > 0 & \text{(аргумент > 0)} \\ 4 - x > 0 & \text{(основание > 0)} \\ 4 - x \neq 1 & \text{(основание $\neq$ 1)} \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} x > 0 \\ x < 4 \\ x \neq 3 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем $x \in (0; 4)$ при $x \neq 3$.
Область определения — это объединение интервалов $(0; 3) \cup (3; 4)$, что соответствует варианту 4).
Ответ: 4

Г) $y = \log_{4-x} 5$

Аргумент логарифма $a = 5$ является постоянной величиной и удовлетворяет условию $5 > 0$.
Следовательно, необходимо выполнить только условия для основания:
$\begin{cases} 4 - x > 0 & \text{(основание > 0)} \\ 4 - x \neq 1 & \text{(основание $\neq$ 1)} \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} x < 4 \\ x \neq 3 \end{cases}$
Область определения — это объединение интервалов $(-\infty; 3) \cup (3; 4)$, что соответствует варианту 2).
Ответ: 2

Итоговая таблица соответствия: