Номер 42, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Решите уравнение:

1) $log_{3}^{2} x - 4log_{3} x + 3 = 0;$

2) $lg^{2} x - lg x^{2} - 3 = 0;$

3) $log_{5}^{2} x^{3} - 10log_{5} x + 1 = 0;$

4) $\frac{1}{5 - lg x} + \frac{2}{1 + lg x} = 1;$

5) $lg(10x) \cdot lg(0{,}01x) = lg x^{3} - 5;$

6) $lg lg x + lg(lg x^{4} - 3) = 0;$

7) $log_{2}^{2} 4x + log_{2} \frac{x^{2}}{8} = 8;$

8) $0{,}5log_{x} 49 - 3log_{7} x = 2.$

1) $log_3^2 x - 4log_3 x + 3 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Это квадратное уравнение относительно $log_3 x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = log_3 x$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 3$

Вернемся к исходной переменной:

1. Если $log_3 x = 1$, то $x = 3^1 = 3$.

2. Если $log_3 x = 3$, то $x = 3^3 = 27$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 27$.

2) $lg^2 x - lg x^2 - 3 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство логарифма $log_a b^c = c \cdot log_a b$:

$lg x^2 = 2lg x$

Подставим в уравнение:

$lg^2 x - 2lg x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = lg x$.

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни:

$t_1 = 3$

$t_2 = -1$

Возвращаемся к замене:

1. Если $lg x = 3$, то $x = 10^3 = 1000$.

2. Если $lg x = -1$, то $x = 10^{-1} = 0,1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 1000, x_2 = 0,1$.

3) $log_5^2 x^3 - 10log_5 x + 1 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем первый член, используя свойство логарифма $log_a b^c = c \cdot log_a b$:

$log_5^2 x^3 = (log_5 x^3)^2 = (3log_5 x)^2 = 9log_5^2 x$

Уравнение принимает вид:

$9log_5^2 x - 10log_5 x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = log_5 x$:

$9t^2 - 10t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$t_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

$t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

Возвращаемся к замене:

1. Если $log_5 x = \frac{1}{9}$, то $x = 5^{1/9} = \sqrt[9]{5}$.

2. Если $log_5 x = 1$, то $x = 5^1 = 5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = \sqrt[9]{5}$.

4) $\frac{1}{5 - lg x} + \frac{2}{1 + lg x} = 1$

ОДЗ: $x > 0$, и знаменатели не равны нулю:

$5 - lg x \neq 0 \implies lg x \neq 5 \implies x \neq 10^5$

$1 + lg x \neq 0 \implies lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1}$

Сделаем замену $t = lg x$:

$\frac{1}{5 - t} + \frac{2}{1 + t} = 1$

Приведем к общему знаменателю $(5 - t)(1 + t)$:

$\frac{1(1 + t) + 2(5 - t)}{(5 - t)(1 + t)} = 1$

$1 + t + 10 - 2t = (5 - t)(1 + t)$

$11 - t = 5 + 5t - t - t^2$

$11 - t = 5 + 4t - t^2$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 2, t_2 = 3$.

Возвращаемся к замене:

1. Если $lg x = 2$, то $x = 10^2 = 100$.

2. Если $lg x = 3$, то $x = 10^3 = 1000$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 100, x_2 = 1000$.

5) $lg(10x) \cdot lg(0,01x) = lg x^3 - 5$

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойства логарифма $log_a(bc) = log_a b + log_a c$ и $log_a b^c = c \cdot log_a b$:

$lg(10x) = lg 10 + lg x = 1 + lg x$

$lg(0,01x) = lg(10^{-2}x) = lg 10^{-2} + lg x = -2 + lg x$

$lg x^3 = 3lg x$

Подставляем в уравнение:

$(1 + lg x)(-2 + lg x) = 3lg x - 5$

Сделаем замену $t = lg x$:

$(1 + t)(t - 2) = 3t - 5$

$t^2 - 2t + t - 2 = 3t - 5$

$t^2 - t - 2 = 3t - 5$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 1, t_2 = 3$.

Возвращаемся к замене:

1. Если $lg x = 1$, то $x = 10^1 = 10$.

2. Если $lg x = 3$, то $x = 10^3 = 1000$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 1000$.

6) $lg(lg x) + lg(lg x^4 - 3) = 0$

ОДЗ: аргументы всех логарифмов должны быть положительны:

1. $x > 0$

2. $lg x > 0 \implies x > 10^0 \implies x > 1$

3. $lg x^4 - 3 > 0 \implies 4lg x > 3 \implies lg x > \frac{3}{4} \implies x > 10^{3/4}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 10^{3/4}$ (так как $10^{3/4} > 1$).

Используем свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(bc)$:

$lg(lg x \cdot (lg x^4 - 3)) = 0$

По определению логарифма:

$lg x \cdot (4lg x - 3) = 10^0 = 1$

Сделаем замену $t = lg x$:

$t(4t - 3) = 1$

$4t^2 - 3t - 1 = 0$

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$t_1 = \frac{3 + 5}{8} = 1$

$t_2 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$

Возвращаемся к замене:

1. Если $lg x = 1$, то $x = 10^1 = 10$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($10 > 10^{3/4}$).

2. Если $lg x = -1/4$, то этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($lg x > 3/4$). Это посторонний корень.

Ответ: $x = 10$.

7) $log_2^2(4x) + log_2(\frac{x^2}{8}) = 8$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем логарифмы:

$log_2^2(4x) = (log_2 4 + log_2 x)^2 = (2 + log_2 x)^2$

$log_2(\frac{x^2}{8}) = log_2 x^2 - log_2 8 = 2log_2 x - 3$

Подставляем в уравнение:

$(2 + log_2 x)^2 + (2log_2 x - 3) = 8$

Сделаем замену $t = log_2 x$:

$(2 + t)^2 + 2t - 3 = 8$

$4 + 4t + t^2 + 2t - 3 = 8$

$t^2 + 6t + 1 = 8$

$t^2 + 6t - 7 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 1, t_2 = -7$.

Возвращаемся к замене:

1. Если $log_2 x = 1$, то $x = 2^1 = 2$.

2. Если $log_2 x = -7$, то $x = 2^{-7} = \frac{1}{128}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = \frac{1}{128}$.

8) $0,5log_x 49 - 3log_7 x = 2$

ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию $log_b a = \frac{1}{log_a b}$:

$log_x 49 = log_x 7^2 = 2log_x 7 = \frac{2}{log_7 x}$

Подставляем в уравнение:

$0,5 \cdot \frac{2}{log_7 x} - 3log_7 x = 2$

$\frac{1}{log_7 x} - 3log_7 x = 2$

Сделаем замену $t = log_7 x$:

$\frac{1}{t} - 3t = 2$

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$, что соответствует $x \neq 1$ из ОДЗ):

$1 - 3t^2 = 2t$

$3t^2 + 2t - 1 = 0$

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

$t_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$

Возвращаемся к замене:

1. Если $log_7 x = \frac{1}{3}$, то $x = 7^{1/3} = \sqrt[3]{7}$.

2. Если $log_7 x = -1$, то $x = 7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \sqrt[3]{7}, x_2 = \frac{1}{7}$.