Номер 37, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_{0,2}(2x - 7);$

2) $y = \lg(4 - x^2);$

3) $y = \log_9(x + 9) + 2\log_8(10 - x);$

4) $y = \frac{7}{\log_2(x + 4)};$

5) $y = \log_{x-1}(5 - x);$

6) $y = \lg(12 + x - x^2) + \frac{1}{\lg(2 - x)}.$

1) $y = \log_{0.2}(2x - 7)$

Область определения логарифмической функции определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Основание логарифма $0.2$ является константой, удовлетворяющей условиям ($0.2 > 0$ и $0.2 \neq 1$).

Следовательно, необходимо решить неравенство:

$2x - 7 > 0$

$2x > 7$

$x > \frac{7}{2}$

$x > 3.5$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие $3.5$.

Ответ: $(3.5; +\infty)$

2) $y = \lg(4 - x^2)$

Десятичный логарифм $\lg$ — это логарифм по основанию 10. Условие для области определения то же: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

Решим неравенство:

$4 - x^2 > 0$

$x^2 < 4$

Это неравенство эквивалентно $|x| < 2$, что означает, что $x$ находится между $-2$ и $2$.

$-2 < x < 2$

Область определения функции — это интервал от $-2$ до $2$.

Ответ: $(-2; 2)$

3) $y = \log_9(x + 9) + 2\log_8(10 - x)$

Функция представляет собой сумму двух логарифмических функций. Область определения такой функции является пересечением областей определения каждого из слагаемых. Поэтому выражения под обоими знаками логарифма должны быть положительными.

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} x+9>0 \\ 10-x>0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > -9$.

Из второго неравенства получаем $x < 10$.

Общим решением системы является пересечение этих двух условий:

$-9 < x < 10$

Ответ: $(-9; 10)$

4) $y = \frac{7}{\log_2(x + 4)}$

Для данной функции необходимо учесть два условия:

1. Выражение под знаком логарифма в знаменателе должно быть положительным: $x + 4 > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\log_2(x + 4) \neq 0$.

Составим систему условий:

$\begin{cases} x+4>0 \\ \log_2(x+4) \neq 0 \end{cases}$

Решим первое условие: $x > -4$.

Решим второе условие. Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен 1.

$\log_2(x+4) \neq 0 \implies x+4 \neq 2^0 \implies x+4 \neq 1 \implies x \neq -3$.

Объединяя оба условия, получаем, что $x$ должен быть больше $-4$, но не равен $-3$.

Ответ: $(-4; -3) \cup (-3; +\infty)$

5) $y = \log_{x-1}(5 - x)$

В этой функции и основание, и аргумент логарифма зависят от переменной $x$. Область определения определяется тремя условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $5 - x > 0$.

2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $x - 1 > 0$.

3. Основание логарифма не должно равняться единице: $x - 1 \neq 1$.

Составим и решим систему:

$\begin{cases} 5-x>0 \\ x-1>0 \\ x-1 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x<5 \\ x>1 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Объединяя все условия, получаем, что $x$ должен быть в интервале от 1 до 5, за исключением точки $x=2$.

Ответ: $(1; 2) \cup (2; 5)$

6) $y = \lg(12 + x - x^2) + \frac{1}{\lg(2 - x)}$

Область определения этой функции является пересечением областей определения двух слагаемых с учетом всех ограничений.

1. Аргумент первого логарифма должен быть положительным: $12 + x - x^2 > 0$.

2. Аргумент логарифма в знаменателе должен быть положительным: $2 - x > 0$.

3. Знаменатель не должен равняться нулю: $\lg(2 - x) \neq 0$.

Составим систему:

$\begin{cases} 12+x-x^2>0 \\ 2-x>0 \\ \lg(2-x) \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $12 + x - x^2 > 0 \implies x^2 - x - 12 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - x - 12 < 0$ выполняется между корнями: $-3 < x < 4$.

Решим второе неравенство: $2 - x > 0 \implies x < 2$.

Решим третье условие: $\lg(2 - x) \neq 0 \implies 2 - x \neq 10^0 \implies 2 - x \neq 1 \implies x \neq 1$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий: $(-3 < x < 4)$, $(x < 2)$ и $(x \neq 1)$.

Пересечение интервалов $(-3; 4)$ и $(-\infty; 2)$ дает интервал $(-3; 2)$. Из этого интервала нужно исключить точку $x=1$.

Ответ: $(-3; 1) \cup (1; 2)$