Номер 43, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Решите уравнение:

1) $x^{\lg x - 5} = 0,0001$

2) $x^{\log_4 x} = 256x^3$

3) $2^{\log_2^2 x} + x^{\log_2 x} = 32$

4) $x^{\lg 3} + 3^{\lg x} = 54$

1) $x^{\lg x - 5} = 0,0001$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Представим правую часть уравнения в виде степени числа 10: $0,0001 = 10^{-4}$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg(x^{\lg x - 5}) = \lg(10^{-4})$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получаем:

$(\lg x - 5) \cdot \lg x = -4$

Введем замену: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$(t - 5)t = -4$

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 4$

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. Если $\lg x = 1$, то $x = 10^1 = 10$.

2. Если $\lg x = 4$, то $x = 10^4 = 10000$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $10; 10000$.

2) $x^{\log_4 x} = 256x^3$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4:

$\log_4(x^{\log_4 x}) = \log_4(256x^3)$

Используя свойства логарифма степени и произведения ($\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$):

$(\log_4 x) \cdot (\log_4 x) = \log_4(256) + \log_4(x^3)$

$(\log_4 x)^2 = \log_4(4^4) + 3\log_4 x$

$(\log_4 x)^2 = 4 + 3\log_4 x$

Введем замену: пусть $t = \log_4 x$.

$t^2 = 4 + 3t$

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни:

$t_1 = 4$

$t_2 = -1$

Вернемся к переменной $x$:

1. Если $\log_4 x = 4$, то $x = 4^4 = 256$.

2. Если $\log_4 x = -1$, то $x = 4^{-1} = 1/4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1/4; 256$.

3) $2^{\log_2^2 x} + x^{\log_2 x} = 32$

ОДЗ: $x > 0$.

Заметим, что $\log_2^2 x = (\log_2 x)^2$.

Преобразуем второе слагаемое $x^{\log_2 x}$, используя основное логарифмическое тождество $a = b^{\log_b a}$:

$x = 2^{\log_2 x}$

Тогда:

$x^{\log_2 x} = (2^{\log_2 x})^{\log_2 x} = 2^{(\log_2 x) \cdot (\log_2 x)} = 2^{(\log_2 x)^2} = 2^{\log_2^2 x}$

Таким образом, оба слагаемых в левой части уравнения равны. Подставим это в исходное уравнение:

$2^{\log_2^2 x} + 2^{\log_2^2 x} = 32$

$2 \cdot 2^{\log_2^2 x} = 32$

$2^{\log_2^2 x} = 16$

$2^{\log_2^2 x} = 2^4$

Приравниваем показатели степеней:

$\log_2^2 x = 4$

$(\log_2 x)^2 = 4$

Отсюда следует, что $\log_2 x = 2$ или $\log_2 x = -2$.

1. Если $\log_2 x = 2$, то $x = 2^2 = 4$.

2. Если $\log_2 x = -2$, то $x = 2^{-2} = 1/4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1/4; 4$.

4) $x^{\lg 3} + 3^{\lg x} = 54$

ОДЗ: $x > 0$.

Воспользуемся свойством логарифма $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. Применим его к первому слагаемому:

$x^{\lg 3} = x^{\log_{10} 3} = 3^{\log_{10} x} = 3^{\lg x}$

Оба слагаемых в левой части уравнения равны. Подставим это в уравнение:

$3^{\lg x} + 3^{\lg x} = 54$

$2 \cdot 3^{\lg x} = 54$

$3^{\lg x} = 27$

$3^{\lg x} = 3^3$

Приравниваем показатели степеней:

$\lg x = 3$

Отсюда $x = 10^3 = 1000$.

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1000$.