Номер 45, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Выясните, при каких значениях $a$ данное уравнение имеет корни, и найдите их:

1) $\log_8(x+2) = \log_8(2x-a)$;

2) $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2ax) = \log_{\frac{1}{3}}(-x - 2a + 2)$.

1) Дано уравнение $ \log_{8}(x + 2) = \log_{8}(2x - a) $.

Это уравнение равносильно системе, в которой аргументы логарифмов равны и положительны:

$ \begin{cases} x + 2 = 2x - a, \\ x + 2 > 0. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $ x $: $ 2x - x = a + 2 $, откуда $ x = a + 2 $.

Подставим это выражение для $ x $ во второе неравенство системы, чтобы найти условия на параметр $ a $:

$ (a + 2) + 2 > 0 $

$ a + 4 > 0 $

$ a > -4 $

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $ x = a + 2 $ при выполнении условия $ a > -4 $. Заметим, что если $ x + 2 > 0 $, то из первого уравнения $ x + 2 = 2x - a $ следует, что и $ 2x - a > 0 $, поэтому проверять второе условие области определения не требуется.

Ответ: при $ a > -4 $ корень $ x = a + 2 $.

2) Дано уравнение $ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2ax) = \log_{\frac{1}{3}}(-x - 2a + 2) $.

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 2ax = -x - 2a + 2, \\ -x - 2a + 2 > 0. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение в стандартный вид квадратного уравнения относительно $ x $:

$ x^2 - 2ax + x + 2a - 2 = 0 $

$ x^2 + (1 - 2a)x + (2a - 2) = 0 $

Вычислим дискриминант $ D $ этого уравнения:

$ D = (1 - 2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - 2) = 1 - 4a + 4a^2 - 8a + 8 = 4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2 $.

Так как $ D = (2a - 3)^2 \ge 0 $ для любого значения $ a $, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их:

$ x = \frac{-(1 - 2a) \pm \sqrt{(2a - 3)^2}}{2} = \frac{2a - 1 \pm |2a - 3|}{2} $.

Корни уравнения: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 2a - 2 $.

Теперь необходимо проверить, при каких значениях $ a $ найденные корни удовлетворяют неравенству из системы $ -x - 2a + 2 > 0 $, то есть $ x < 2 - 2a $.

Проверка для корня $ x_1 = 1 $:

$ 1 < 2 - 2a \implies 2a < 1 \implies a < 0.5 $.

Следовательно, $ x = 1 $ является корнем исходного логарифмического уравнения только при $ a < 0.5 $.

Проверка для корня $ x_2 = 2a - 2 $:

$ 2a - 2 < 2 - 2a \implies 4a < 4 \implies a < 1 $.

Следовательно, $ x = 2a - 2 $ является корнем исходного логарифмического уравнения только при $ a < 1 $.

Сведем результаты в итоговый ответ:

1. Если $ a < 0.5 $, то оба условия ($ a < 0.5 $ и $ a < 1 $) выполнены. Корни $ 1 $ и $ 2a-2 $ различны (они равны при $ a=1.5 $, что не входит в данный интервал). Таким образом, уравнение имеет два корня: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 2a - 2 $.

2. Если $ 0.5 \le a < 1 $, то для корня $ x=1 $ условие не выполняется, а для корня $ x=2a-2 $ условие выполняется. Таким образом, уравнение имеет один корень: $ x = 2a - 2 $.

3. Если $ a \ge 1 $, то ни одно из условий не выполняется, и уравнение корней не имеет.

Ответ: при $ a < 0.5 $ корни $ x_1 = 1, x_2 = 2a - 2 $; при $ 0.5 \le a < 1 $ корень $ x = 2a - 2 $; при $ a \ge 1 $ корней нет.