Номер 52, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. Решите неравенство:

1) $\log_x (x^2 - 7x + 12) < 1;$

2) $\log_{2x+4} (x^2 + 1) \le 1.$

1) $\log_x(x^2 - 7x + 12) < 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для логарифма $\log_a b$ должны выполняться условия: $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$.

В нашем случае:

1. Основание: $x > 0$ и $x \ne 1$.
2. Аргумент: $x^2 - 7x + 12 > 0$.

Решим квадратное неравенство $x^2 - 7x + 12 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 7x + 12$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 3) \cup (4, \infty)$.

Объединяя все условия ОДЗ ($x > 0$, $x \ne 1$, $x \in (-\infty, 3) \cup (4, \infty)$), получаем: $x \in (0, 1) \cup (1, 3) \cup (4, \infty)$.

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $x$: $1 = \log_x(x)$. Неравенство примет вид:

$\log_x(x^2 - 7x + 12) < \log_x(x)$

Решение неравенства зависит от значения основания $x$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание $0 < x < 1$.

В этом случае логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 7x + 12 > x$

$x^2 - 8x + 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$. Корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2) \cup (6, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием случая ($0 < x < 1$): $(0, 1) \cap ((-\infty, 2) \cup (6, \infty)) = (0, 1)$.

Случай 2: Основание $x > 1$.

В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 7x + 12 < x$

$x^2 - 8x + 12 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$ равны 2 и 6. Неравенство выполняется при $x \in (2, 6)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ для данного случая ($x \in (1, 3) \cup (4, \infty)$): $(2, 6) \cap ((1, 3) \cup (4, \infty)) = (2, 3) \cup (4, 6)$.

Объединяем решения из обоих случаев:

$x \in (0, 1) \cup (2, 3) \cup (4, 6)$.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (2, 3) \cup (4, 6)$.

2) $\log_{2x+4}(x^2 + 1) \le 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. Основание: $2x+4 > 0$ и $2x+4 \ne 1$.
2. Аргумент: $x^2 + 1 > 0$.

Из условия на основание получаем:

$2x > -4 \implies x > -2$

$2x \ne -3 \implies x \ne -1.5$

Неравенство $x^2 + 1 > 0$ выполняется для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2, -1.5) \cup (-1.5, \infty)$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма: $1 = \log_{2x+4}(2x+4)$. Неравенство примет вид:

$\log_{2x+4}(x^2 + 1) \le \log_{2x+4}(2x+4)$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания.

Случай 1: Основание $0 < 2x+4 < 1$.

Это соответствует интервалу $-2 < x < -1.5$. Логарифмическая функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется:

$x^2 + 1 \ge 2x + 4$

$x^2 - 2x - 3 \ge 0$

Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием случая ($-2 < x < -1.5$): $(-2, -1.5) \cap ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) = (-2, -1.5)$.

Случай 2: Основание $2x+4 > 1$.

Это соответствует $x > -1.5$. Логарифмическая функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 1 \le 2x + 4$

$x^2 - 2x - 3 \le 0$

Корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Неравенство выполняется при $x \in [-1, 3]$.

Найдем пересечение этого решения с условием случая ($x > -1.5$): $[-1, 3] \cap (-1.5, \infty) = [-1, 3]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ:

$x \in (-2, -1.5) \cup [-1, 3]$.

Ответ: $x \in (-2, -1.5) \cup [-1, 3]$.