Номер 57, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Найдите производную функции:

1) $y = \log_8 x;$

2) $y = \ln 4x;$

3) $y = \ln(x^2 + 2x);$

4) $y = \log_{0,3}(2x^2 - 4x + 3);$

5) $y = \ln^4 x;$

6) $y = x^3 \ln x;$

7) $y = \frac{\ln x}{x^2};$

8) $y = \frac{x^3}{\ln^2 x}.$

1) $y = \log_8 x$

Производная логарифмической функции с основанием $a$ находится по формуле $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

Для данной функции основание $a = 8$, поэтому:

$y' = (\log_8 x)' = \frac{1}{x \ln 8}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 8}$.

2) $y = \ln 4x$

Используем правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$. В данном случае $u = 4x$.

Сначала находим производную внутренней функции: $u' = (4x)' = 4$.

Тогда производная всей функции:

$y' = (\ln(4x))' = \frac{1}{4x} \cdot (4x)' = \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{1}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x}$.

3) $y = \ln(x^2 + 2x)$

Это сложная функция вида $y = \ln u$, где $u = x^2 + 2x$. Ее производная находится по формуле $y' = \frac{u'}{u}$.

Находим производную внутренней функции: $u' = (x^2 + 2x)' = 2x + 2$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x}$.

Ответ: $y' = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x}$.

4) $y = \log_{0.3}(2x^2 - 4x + 3)$

Это сложная функция вида $y = \log_a u$, где $a=0.3$ и $u = 2x^2 - 4x + 3$. Ее производная находится по формуле $y' = \frac{u'}{u \ln a}$.

Находим производную внутренней функции: $u' = (2x^2 - 4x + 3)' = 4x - 4$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{4x - 4}{(2x^2 - 4x + 3) \ln 0.3}$.

Ответ: $y' = \frac{4x - 4}{(2x^2 - 4x + 3) \ln 0.3}$.

5) $y = \ln^4 x$

Функцию можно представить в виде $y = (\ln x)^4$. Это сложная функция вида $y = u^4$, где $u = \ln x$. Ее производная находится по цепному правилу: $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.

В данном случае $n=4$ и $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

$y' = 4(\ln x)^{4-1} \cdot (\ln x)' = 4 \ln^3 x \cdot \frac{1}{x} = \frac{4 \ln^3 x}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{4 \ln^3 x}{x}$.

6) $y = x^3 \ln x$

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^3$ и $v = \ln x$.

Находим производные: $u' = (x^3)' = 3x^2$ и $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Подставляем в формулу:

$y' = (3x^2) \cdot \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $y' = x^2(3 \ln x + 1)$.

Ответ: $y' = x^2(3 \ln x + 1)$.

7) $y = \frac{\ln x}{x^2}$

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u = \ln x$ и $v = x^2$.

Находим производные: $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $v' = (x^2)' = 2x$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - (\ln x) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x - 2x \ln x}{x^4}$.

Упрощаем, вынося $x$ в числителе за скобки и сокращая дробь:

$y' = \frac{x(1 - 2 \ln x)}{x^4} = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3}$.

Ответ: $y' = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3}$.

8) $y = \frac{x^3}{\ln^2 x}$

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u = x^3$ и $v = \ln^2 x$.

Находим производные: $u' = (x^3)' = 3x^2$.

Для нахождения $v'$ используем цепное правило: $v' = (\ln^2 x)' = 2(\ln x)^{1} \cdot (\ln x)' = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}$.

Подставляем в формулу частного:

$y' = \frac{3x^2 \cdot \ln^2 x - x^3 \cdot \frac{2 \ln x}{x}}{(\ln^2 x)^2} = \frac{3x^2 \ln^2 x - 2x^2 \ln x}{\ln^4 x}$.

Упрощаем, вынося $x^2 \ln x$ в числителе за скобки и сокращая дробь:

$y' = \frac{x^2 \ln x(3 \ln x - 2)}{\ln^4 x} = \frac{x^2(3 \ln x - 2)}{\ln^3 x}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2(3 \ln x - 2)}{\ln^3 x}$.