Номер 60, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = x^2 \ln(x^2 + 5x - 23)$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной этой функции в данной точке.

Заданная функция: $f(x) = x^2 \ln(x^2 + 5x - 23)$.

Точка, в которой нужно найти угловой коэффициент, имеет абсциссу $x_0 = 3$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u = x^2$ и $v = \ln(x^2 + 5x - 23)$.

Найдем производные для $u$ и $v$:

$u' = (x^2)' = 2x$

Для нахождения производной $v$ используем правило дифференцирования сложной функции (производная натурального логарифма): $(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$.

$v' = (\ln(x^2 + 5x - 23))' = \frac{(x^2 + 5x - 23)'}{x^2 + 5x - 23} = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x - 23}$

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^2)' \cdot \ln(x^2 + 5x - 23) + x^2 \cdot (\ln(x^2 + 5x - 23))'$

$f'(x) = 2x \ln(x^2 + 5x - 23) + x^2 \frac{2x + 5}{x^2 + 5x - 23}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = 2 \cdot 3 \cdot \ln(3^2 + 5 \cdot 3 - 23) + 3^2 \cdot \frac{2 \cdot 3 + 5}{3^2 + 5 \cdot 3 - 23}$

Вычислим значение выражения в скобках под логарифмом и в знаменателе дроби:

$3^2 + 5 \cdot 3 - 23 = 9 + 15 - 23 = 24 - 23 = 1$

Подставим это значение обратно в выражение для $f'(3)$:

$f'(3) = 6 \cdot \ln(1) + 9 \cdot \frac{2 \cdot 3 + 5}{1}$

Мы знаем, что $\ln(1) = 0$. Вычислим числитель дроби:

$2 \cdot 3 + 5 = 6 + 5 = 11$

Теперь подставим все значения:

$f'(3) = 6 \cdot 0 + 9 \cdot \frac{11}{1} = 0 + 99 = 99$

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 3$ равен 99.

Ответ: 99