Номер 66, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Найдите наименьшее значение функции:

1) $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{8x-x^2-19};$

2) $f(x) = \log_2(x^2 + 4x + 8) + 6.$

1) $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{8x-x^2-19}$

Данная функция является показательной функцией вида $y=a^u$, где основание $a = \frac{1}{3}$ и показатель $u(x) = 8x-x^2-19$.

Поскольку основание степени $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что наименьшее значение функции $f(x)$ будет достигаться при наибольшем значении показателя $u(x)$.

Найдем наибольшее значение функции $u(x) = -x^2+8x-19$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Свое наибольшее значение она принимает в вершине.

Координата $x$ вершины параболы $ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для $u(x) = -x^2+8x-19$ имеем $a=-1$, $b=8$.

$x_0 = -\frac{8}{2(-1)} = 4$.

Найдем наибольшее значение показателя, подставив $x=4$ в $u(x)$:

$u_{max} = u(4) = -(4)^2 + 8(4) - 19 = -16 + 32 - 19 = 16 - 19 = -3$.

Теперь, когда мы нашли наибольшее значение показателя, мы можем найти наименьшее значение исходной функции $f(x)$:

$f_{min} = \left(\frac{1}{3}\right)^{u_{max}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = (3^{-1})^{-3} = 3^{(-1) \cdot (-3)} = 3^3 = 27$.

Ответ: 27.

2) $f(x) = \log_2(x^2 + 4x + 8) + 6$

Данная функция является логарифмической функцией вида $y=\log_b(u)+c$, где основание $b=2$ и аргумент $u(x) = x^2+4x+8$.

Поскольку основание логарифма $b=2$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функции $f(x)$ будет достигаться при наименьшем значении ее аргумента $u(x)$.

Найдем наименьшее значение функции $u(x) = x^2+4x+8$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Свое наименьшее значение она принимает в вершине.

Координата $x$ вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для $u(x) = x^2+4x+8$ имеем $a=1$, $b=4$.

$x_0 = -\frac{4}{2(1)} = -2$.

Найдем наименьшее значение аргумента, подставив $x=-2$ в $u(x)$:

$u_{min} = u(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4$.

Поскольку $u_{min}=4>0$, область определения логарифма соблюдается.

Теперь, когда мы нашли наименьшее значение аргумента, мы можем найти наименьшее значение исходной функции $f(x)$:

$f_{min} = \log_2(u_{min}) + 6 = \log_2(4) + 6$.

Так как $2^2=4$, то $\log_2(4)=2$.

$f_{min} = 2 + 6 = 8$.

Ответ: 8.