Номер 61, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = xe^{-x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$;

2) $f(x) = e^{x^2 - 5x + 6}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$;

3) $f(x) = 5^{3x - 4}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$;

4) $f(x) = \ln(7x + 8)$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$;

5) $f(x) = 2 - \ln(x + 1)$ в точке его пересечения с осью ординат.

1) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет общий вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = xe^{-x}$ и точки $x_0 = 0$ выполним следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$:

$f(0) = 0 \cdot e^{-0} = 0 \cdot 1 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x)' \cdot e^{-x} + x \cdot (e^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0=0$:

$f'(0) = e^{-0}(1-0) = 1 \cdot 1 = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=0$ и $f'(0)=1$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 1 \cdot (x - 0)$

$y = x$.

Ответ: $y = x$.

2) Для функции $f(x) = e^{x^2 - 5x + 6}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=1$:

$f(1) = e^{1^2 - 5 \cdot 1 + 6} = e^{1-5+6} = e^2$.

2. Найдем производную функции, используя правило для сложной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$:

$f'(x) = e^{x^2 - 5x + 6} \cdot (x^2 - 5x + 6)' = e^{x^2 - 5x + 6} \cdot (2x - 5)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0=1$:

$f'(1) = e^{1^2 - 5 \cdot 1 + 6} \cdot (2 \cdot 1 - 5) = e^2 \cdot (2 - 5) = -3e^2$.

4. Подставим значения $f(1)=e^2$ и $f'(1)=-3e^2$ в уравнение касательной:

$y = e^2 + (-3e^2)(x - 1) = e^2 - 3e^2x + 3e^2 = 4e^2 - 3e^2x$.

Ответ: $y = -3e^2x + 4e^2$.

3) Для функции $f(x) = 5^{3x-4}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=2$:

$f(2) = 5^{3 \cdot 2 - 4} = 5^{6-4} = 5^2 = 25$.

2. Найдем производную функции, используя правило $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = 5^{3x-4} \cdot \ln(5) \cdot (3x-4)' = 3 \ln(5) \cdot 5^{3x-4}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0=2$:

$f'(2) = 3 \ln(5) \cdot 5^{3 \cdot 2 - 4} = 3 \ln(5) \cdot 5^2 = 75 \ln(5)$.

4. Подставим значения $f(2)=25$ и $f'(2)=75 \ln(5)$ в уравнение касательной:

$y = 25 + 75 \ln(5) (x - 2) = 25 + 75x \ln(5) - 150 \ln(5)$.

Ответ: $y = 75x \ln(5) + 25 - 150 \ln(5)$.

4) Для функции $f(x) = \ln(7x+8)$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=-1$:

$f(-1) = \ln(7(-1) + 8) = \ln(-7+8) = \ln(1) = 0$.

2. Найдем производную функции, используя правило $(\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u'$:

$f'(x) = \frac{1}{7x+8} \cdot (7x+8)' = \frac{7}{7x+8}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0=-1$:

$f'(-1) = \frac{7}{7(-1)+8} = \frac{7}{1} = 7$.

4. Подставим значения $f(-1)=0$ и $f'(-1)=7$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 7(x - (-1)) = 7(x+1) = 7x+7$.

Ответ: $y = 7x+7$.

5) Для функции $f(x) = 2 - \ln(x+1)$ в точке ее пересечения с осью ординат.

1. Точка пересечения графика с осью ординат (осью y) соответствует значению абсциссы $x=0$. Таким образом, $x_0 = 0$.

2. Найдем значение функции в точке $x_0=0$:

$f(0) = 2 - \ln(0+1) = 2 - \ln(1) = 2 - 0 = 2$.

3. Найдем производную функции:

$f'(x) = (2 - \ln(x+1))' = 0 - \frac{1}{x+1} \cdot (x+1)' = -\frac{1}{x+1}$.

4. Найдем значение производной в точке $x_0=0$:

$f'(0) = -\frac{1}{0+1} = -1$.

5. Подставим значения $f(0)=2$ и $f'(0)=-1$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-1)(x - 0) = 2 - x$.

Ответ: $y = -x + 2$.