Номер 54, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

54. Найдите производную функции:

1) $y = e^{6x}$

2) $y = e^{x^3}$

3) $y = e^{4x-x^2}$

4) $y = 5^{-x}$

5) $y = 6^{2x-5}$

6) $y = 0.4^{\tan x}$

7) $y = 10 \cdot 7^{4-0.2x^2}$

8) $y = e^x(x^2 + 3x - 6)$

9) $y = 2^{-x} \sqrt{x}$

10) $y = 3\sqrt{x}(x-5)$

11) $y = \frac{5x - 4}{5x + 2}$

12) $y = e^{\cot 4x}$

1) Дана функция $y = e^{6x}$.
Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = 6x$.
Производная находится по правилу дифференцирования сложной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (6x)' = 6$.
Подставляем в формулу: $y' = e^{6x} \cdot (6x)' = e^{6x} \cdot 6 = 6e^{6x}$.
Ответ: $y' = 6e^{6x}$

2) Дана функция $y = e^{x^3}$.
Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = x^3$.
Используем правило дифференцирования сложной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Следовательно, $y' = e^{x^3} \cdot (x^3)' = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2e^{x^3}$.
Ответ: $y' = 3x^2e^{x^3}$

3) Дана функция $y = e^{4x-x^2}$.
Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = 4x-x^2$.
Применяем правило дифференцирования сложной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Находим производную показателя степени: $u'(x) = (4x-x^2)' = 4 - 2x$.
Получаем: $y' = e^{4x-x^2} \cdot (4x-x^2)' = e^{4x-x^2} \cdot (4 - 2x) = (4 - 2x)e^{4x-x^2}$.
Ответ: $y' = (4 - 2x)e^{4x-x^2}$

4) Дана функция $y = 5^{-x}$.
Это показательная функция вида $y = a^{u(x)}$, где $a=5$ и $u(x)=-x$.
Ее производная находится по формуле: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.
Производная показателя: $u'(x) = (-x)' = -1$.
Тогда, $y' = 5^{-x} \cdot \ln(5) \cdot (-1) = -5^{-x}\ln(5)$.
Ответ: $y' = -5^{-x}\ln(5)$

5) Дана функция $y = 6^{2x-5}$.
Это показательная функция вида $y = a^{u(x)}$, где $a=6$ и $u(x)=2x-5$.
Используем формулу производной показательной функции: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.
Производная показателя: $u'(x) = (2x-5)' = 2$.
Подставляя, получаем: $y' = 6^{2x-5} \cdot \ln(6) \cdot 2 = 2 \cdot 6^{2x-5}\ln(6)$.
Ответ: $y' = 2 \cdot 6^{2x-5}\ln(6)$

6) Дана функция $y = 0,4\tg x$.
Используем правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ и формулу производной тангенса $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
$y' = (0,4\tg x)' = 0,4 \cdot (\tg x)' = 0,4 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{0,4}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{0,4}{\cos^2 x}$

7) Дана функция $y = 10 \cdot 7^{4-0,2x^2}$. (Предполагая, что выражение в задании означает именно это).
Используем правило производной произведения константы на функцию и правило для показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.
Здесь $a=7$, $u(x) = 4 - 0,2x^2$.
Производная показателя: $u'(x) = (4 - 0,2x^2)' = -0,2 \cdot 2x = -0,4x$.
$y' = 10 \cdot (7^{4-0,2x^2})' = 10 \cdot 7^{4-0,2x^2} \cdot \ln(7) \cdot (-0,4x) = -4x \cdot 7^{4-0,2x^2}\ln(7)$.
Ответ: $y' = -4x \cdot 7^{4-0,2x^2}\ln(7)$

8) Дана функция $y = e^x(x^2 + 3x - 6)$.
Применяем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x^2 + 3x - 6$.
Тогда $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x^2 + 3x - 6)' = 2x + 3$.
$y' = (e^x)'(x^2 + 3x - 6) + e^x(x^2 + 3x - 6)' = e^x(x^2 + 3x - 6) + e^x(2x + 3)$.
Вынесем $e^x$ за скобки: $y' = e^x(x^2 + 3x - 6 + 2x + 3) = e^x(x^2 + 5x - 3)$.
Ответ: $y' = e^x(x^2 + 5x - 3)$

9) Дана функция $y = 2^{-x}\sqrt{x}$.
Применяем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = 2^{-x}$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.
Находим производные: $u'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x}\ln(2) \cdot (-1) = -2^{-x}\ln(2)$.
$v'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$y' = (-2^{-x}\ln(2)) \cdot \sqrt{x} + 2^{-x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2^{-x} \left( -\sqrt{x}\ln(2) + \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)$.
Приведем к общему знаменателю: $y' = 2^{-x} \left( \frac{-2x\ln(2) + 1}{2\sqrt{x}} \right) = \frac{2^{-x}(1 - 2x\ln(2))}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{2^{-x}(1 - 2x\ln(2))}{2\sqrt{x}}$

10) Дана функция $y = 3\sqrt[3]{x}(x-5)$.
Сначала упростим выражение: $y = 3x^{1/3}(x-5) = 3(x^{1/3} \cdot x - 5x^{1/3}) = 3(x^{4/3} - 5x^{1/3}) = 3x^{4/3} - 15x^{1/3}$.
Теперь находим производную, используя правило степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
$y' = (3x^{4/3})' - (15x^{1/3})' = 3 \cdot \frac{4}{3}x^{4/3-1} - 15 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3-1} = 4x^{1/3} - 5x^{-2/3}$.
Можно записать ответ с корнями: $y' = 4\sqrt[3]{x} - \frac{5}{x^{2/3}} = 4\sqrt[3]{x} - \frac{5}{\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $y' = 4x^{1/3} - 5x^{-2/3}$

11) Дана функция $y = \frac{5x-4}{5^x+2}$.
Используем правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 5x-4$ и $v(x) = 5^x+2$.
Находим производные: $u'(x) = 5$ и $v'(x) = (5^x)' + (2)' = 5^x\ln(5)$.
Подставляем в формулу: $y' = \frac{5(5^x+2) - (5x-4)5^x\ln(5)}{(5^x+2)^2}$.
Можно раскрыть скобки в числителе: $y' = \frac{5 \cdot 5^x + 10 - 5x \cdot 5^x\ln(5) + 4 \cdot 5^x\ln(5)}{(5^x+2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{5(5^x+2) - (5x-4)5^x\ln(5)}{(5^x+2)^2}$

12) Дана функция $y = e^{\ctg(4x)}$.
Это сложная функция, применяем цепное правило дважды. $y=e^u, u=\ctg(v), v=4x$.
$y' = (e^{\ctg(4x)})' \cdot (\ctg(4x))' \cdot (4x)'$.
$(e^{\ctg(4x)})' = e^{\ctg(4x)}$.
$(\ctg(4x))' = -\frac{1}{\sin^2(4x)}$.
$(4x)'=4$.
Собираем все вместе: $y' = e^{\ctg(4x)} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(4x)}\right) \cdot 4 = -\frac{4e^{\ctg(4x)}}{\sin^2(4x)}$.
Ответ: $y' = -\frac{4e^{\ctg(4x)}}{\sin^2(4x)}$