Номер 55, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{2x} - e^{-3x^2}$, $x_0 = 0;$

2) $f(x) = 2^{4x-5x^2+1}$, $x_0 = 1;$

3) $f(x) = e^{3x}(x^2+1)$, $x_0 = -1;$

4) $f(x) = \frac{e^{4x}}{\sin 2x}$, $x_0 = \frac{\pi}{4}.$

1) Дана функция $f(x) = e^{2x} - e^{-3x^2}$ и точка $x_0 = 0$.

Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования разности функций и правилом дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

Производная первого слагаемого: $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

Производная второго слагаемого: $(e^{-3x^2})' = e^{-3x^2} \cdot (-3x^2)' = e^{-3x^2} \cdot (-6x) = -6xe^{-3x^2}$.

Следовательно, производная исходной функции равна:

$f'(x) = (e^{2x})' - (e^{-3x^2})' = 2e^{2x} - (-6xe^{-3x^2}) = 2e^{2x} + 6xe^{-3x^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 2e^{2 \cdot 0} + 6 \cdot 0 \cdot e^{-3 \cdot 0^2} = 2e^0 + 0 \cdot e^0 = 2 \cdot 1 + 0 = 2$.

Ответ: 2

2) Дана функция $f(x) = 2^{4x-5x^2+1}$ и точка $x_0 = 1$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.

В данном случае $a=2$, $u(x) = 4x-5x^2+1$. Найдем производную $u'(x)$:

$u'(x) = (4x-5x^2+1)' = 4 - 10x$.

Тогда производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 2^{4x-5x^2+1} \cdot \ln(2) \cdot (4 - 10x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 2^{4(1)-5(1)^2+1} \cdot \ln(2) \cdot (4 - 10 \cdot 1) = 2^{4-5+1} \cdot \ln(2) \cdot (-6) = 2^0 \cdot \ln(2) \cdot (-6)$.

Так как $2^0=1$, получаем:

$f'(1) = 1 \cdot \ln(2) \cdot (-6) = -6\ln(2)$.

Ответ: $-6\ln(2)$

3) Дана функция $f(x) = e^{3x}(x^2 + 1)$ и точка $x_0 = -1$.

Функция является произведением двух функций $u(x) = e^{3x}$ и $v(x) = x^2 + 1$. Для нахождения производной используем правило произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные сомножителей:

$u'(x) = (e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = 3e^{3x}$.

$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$.

Теперь найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = (3e^{3x})(x^2+1) + (e^{3x})(2x)$.

Вынесем общий множитель $e^{3x}$ за скобки:

$f'(x) = e^{3x}(3(x^2+1) + 2x) = e^{3x}(3x^2 + 3 + 2x) = e^{3x}(3x^2 + 2x + 3)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = e^{3(-1)}(3(-1)^2 + 2(-1) + 3) = e^{-3}(3 \cdot 1 - 2 + 3) = e^{-3}(4) = 4e^{-3}$.

Ответ: $4e^{-3}$

4) Дана функция $f(x) = \frac{e^{4x}}{\sin(2x)}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Функция является частным двух функций $u(x) = e^{4x}$ и $v(x) = \sin(2x)$. Для нахождения производной используем правило частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (e^{4x})' = e^{4x} \cdot (4x)' = 4e^{4x}$.

$v'(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Теперь найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{(4e^{4x})(\sin(2x)) - (e^{4x})(2\cos(2x))}{(\sin(2x))^2} = \frac{2e^{4x}(2\sin(2x) - \cos(2x))}{\sin^2(2x)}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Подставим это значение в аргументы тригонометрических функций и в показатель экспоненты:

$2x_0 = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$4x_0 = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$

Теперь вычислим значения функций в этой точке: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Подставляем найденные значения в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{2e^{\pi}(2\sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\frac{\pi}{2}))}{\sin^2(\frac{\pi}{2})} = \frac{2e^{\pi}(2 \cdot 1 - 0)}{1^2} = \frac{4e^{\pi}}{1} = 4e^{\pi}$.

Ответ: $4e^{\pi}$