Номер 53, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. При каких значениях $a$ число $-1$ является решением неравенства $\log_a(1-3x) < 4$?

Для того чтобы число $-1$ было решением неравенства $\log_a(1 - 3x) < 4$, необходимо, чтобы при подстановке $x = -1$ в это неравенство получилось верное числовое неравенство. Выполним подстановку:

$\log_a(1 - 3(-1)) < 4$

$\log_a(1 + 3) < 4$

$\log_a(4) < 4$

Теперь решим полученное неравенство относительно $a$. По определению логарифма, его основание $a$ должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \ne 1$. Решение логарифмического неравенства зависит от величины основания, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: $0 < a < 1$

В этом случае логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам (потенцировании) знак неравенства меняется на противоположный. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $a$: $4 = 4 \cdot \log_a(a) = \log_a(a^4)$.

Неравенство $\log_a(4) < \log_a(a^4)$ равносильно неравенству:

$4 > a^4$

$a^4 < 4$

Решая это неравенство, получаем $a^2 < 2$. Поскольку в рассматриваемом случае $a > 0$, то $a < \sqrt{2}$.

Найдем пересечение полученного решения с условием данного случая: $\begin{cases} 0 < a < 1 \\ a < \sqrt{2} \end{cases}$. Учитывая, что $\sqrt{2} \approx 1.414$, решением для этого случая будет интервал $a \in (0, 1)$.

Случай 2: $a > 1$

В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при потенцировании знак неравенства сохраняется.

Неравенство $\log_a(4) < \log_a(a^4)$ равносильно неравенству:

$4 < a^4$

$a^4 > 4$

Решая это неравенство, получаем $a^2 > 2$. Поскольку в рассматриваемом случае $a > 1$, то $a > \sqrt{2}$.

Найдем пересечение полученного решения с условием данного случая: $\begin{cases} a > 1 \\ a > \sqrt{2} \end{cases}$. Решением для этого случая будет интервал $a \in (\sqrt{2}, +\infty)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, находим все значения $a$, при которых число $-1$ является решением исходного неравенства.

Ответ: $a \in (0, 1) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.