Номер 49, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Решите неравенство:

1) $\log_3 \frac{2-3x}{x} \ge -1;$

2) $\log_4 \frac{3x-1}{x} \le 0,5;$

3) $\log_{0,3} \log_6 \frac{x+1}{4-x} \ge 0.$

1) Решим неравенство $\log_3 \frac{2-3x}{x} \ge -1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{2-3x}{x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$2-3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

$x = 0$

На числовой прямой отмечаем точки 0 и $\frac{2}{3}$. Они делят прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; +\infty)$. Определим знак выражения на каждом интервале. Выражение положительно на интервале $(0; \frac{2}{3})$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; \frac{2}{3})$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{2-3x}{x} \ge 3^{-1}$

$\frac{2-3x}{x} \ge \frac{1}{3}$

$\frac{2-3x}{x} - \frac{1}{3} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{3(2-3x) - x}{3x} \ge 0$

$\frac{6 - 9x - x}{3x} \ge 0$

$\frac{6 - 10x}{3x} \ge 0$

Снова используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя:

$6 - 10x = 0 \Rightarrow x = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$3x = 0 \Rightarrow x = 0$

На числовой прямой отмечаем точки 0 (выколотая) и $\frac{3}{5}$ (закрашенная). Выражение $\frac{6 - 10x}{3x}$ положительно на интервале $(0; \frac{3}{5}]$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (0; \frac{3}{5}]$

ОДЗ: $x \in (0; \frac{2}{3})$

Так как $\frac{3}{5} = 0.6$ и $\frac{2}{3} \approx 0.67$, то $\frac{3}{5} < \frac{2}{3}$. Пересечением является интервал $(0; \frac{3}{5}]$.

Ответ: $x \in (0; \frac{3}{5}]$.

2) Решим неравенство $\log_4 \frac{3x-1}{x} \le 0,5$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{3x-1}{x} > 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Теперь решаем неравенство. Основание логарифма $4 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется. Представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$:

$\frac{3x-1}{x} \le 4^{0,5}$

$\frac{3x-1}{x} \le \sqrt{4}$

$\frac{3x-1}{x} \le 2$

$\frac{3x-1}{x} - 2 \le 0$

$\frac{3x-1 - 2x}{x} \le 0$

$\frac{x-1}{x} \le 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (0; 1]$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (0; 1]$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$

Пересечение этих множеств дает интервал $(\frac{1}{3}; 1]$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; 1]$.

3) Решим неравенство $\log_{0,3} \log_6 \frac{x+1}{4-x} \ge 0$.

Найдем ОДЗ. Для этого неравенства должны выполняться два условия:

1. Аргумент внутреннего логарифма должен быть положительным:

$\frac{x+1}{4-x} > 0$

Это неравенство выполняется на интервале $x \in (-1; 4)$.

2. Аргумент внешнего логарифма, который сам является логарифмом, должен быть положительным:

$\log_6 \frac{x+1}{4-x} > 0$

Так как основание $6 > 1$, это эквивалентно:

$\frac{x+1}{4-x} > 6^0 \Rightarrow \frac{x+1}{4-x} > 1$

$\frac{x+1}{4-x} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{x+1 - (4-x)}{4-x} > 0 \Rightarrow \frac{2x-3}{4-x} > 0$

Это неравенство выполняется на интервале $x \in (\frac{3}{2}; 4)$.

Общее ОДЗ является пересечением этих двух интервалов: $(-1; 4) \cap (\frac{3}{2}; 4) = (\frac{3}{2}; 4)$.

Теперь решим исходное неравенство. Основание внешнего логарифма $0,3 < 1$, поэтому при его снятии знак неравенства меняется на противоположный:

$\log_6 \frac{x+1}{4-x} \le 0,3^0$

$\log_6 \frac{x+1}{4-x} \le 1$

Основание внутреннего логарифма $6 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$\frac{x+1}{4-x} \le 6^1$

$\frac{x+1}{4-x} - 6 \le 0$

$\frac{x+1 - 6(4-x)}{4-x} \le 0$

$\frac{x+1 - 24 + 6x}{4-x} \le 0$

$\frac{7x-23}{4-x} \le 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; \frac{23}{7}] \cup (4; +\infty)$.

Наконец, найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty; \frac{23}{7}] \cup (4; +\infty)$

ОДЗ: $x \in (\frac{3}{2}; 4)$

Пересечение этих множеств дает интервал $(\frac{3}{2}; \frac{23}{7}]$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}; \frac{23}{7}]$.