Номер 58, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = \ln(2x + 1)$, $x_0 = 1,5$;

2) $f(x) = \frac{1}{6}\ln(-9x)$, $x_0 = -\frac{1}{12}$;

3) $f(x) = \ln \cos \frac{x}{2}$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1) Дана функция $f(x) = \ln(2x + 1)$ и точка $x_0 = 1,5$.

Чтобы найти значение производной в точке, сначала необходимо найти производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому для ее дифференцирования воспользуемся правилом производной сложной функции (цепным правилом): $(\ln(u(x)))' = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x)$.

В данном случае $u(x) = 2x + 1$, а её производная $u'(x) = 2$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\ln(2x + 1))' = \frac{1}{2x + 1} \cdot (2x + 1)' = \frac{1}{2x + 1} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 1}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 1,5$ в выражение для производной:

$f'(1,5) = \frac{2}{2 \cdot 1,5 + 1} = \frac{2}{3 + 1} = \frac{2}{4} = 0,5$.

Ответ: $0,5$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{6}\ln(-9x)$ и точка $x_0 = -\frac{1}{12}$.

Найдем производную функции $f(x)$. Применяем правило дифференцирования произведения константы на функцию и цепное правило.

$f'(x) = \left(\frac{1}{6}\ln(-9x)\right)' = \frac{1}{6} \cdot (\ln(-9x))'$.

Для нахождения производной $(\ln(-9x))'$ используем цепное правило, где $u(x) = -9x$ и $u'(x) = -9$.

$(\ln(-9x))' = \frac{1}{-9x} \cdot (-9x)' = \frac{1}{-9x} \cdot (-9) = \frac{1}{x}$.

Подставляем результат обратно в выражение для $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{6x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{12}$:

$f'\left(-\frac{1}{12}\right) = \frac{1}{6 \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)} = \frac{1}{-\frac{6}{12}} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$.

Ответ: $-2$.

3) Дана функция $f(x) = \ln\cos\frac{x}{2}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Найдем производную функции. Это сложная функция, для дифференцирования которой необходимо применить цепное правило дважды. Общая формула: $(f(g(h(x))))' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае $f(u) = \ln(u)$, $g(v) = \cos(v)$, $h(x) = \frac{x}{2}$.

Их производные: $f'(u) = \frac{1}{u}$, $g'(v) = -\sin(v)$, $h'(x) = \frac{1}{2}$.

Собираем производную исходной функции:

$f'(x) = \frac{1}{\cos\frac{x}{2}} \cdot \left(-\sin\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} = -\frac{1}{2}\tan\frac{x}{2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\tan\left(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\right) = -\frac{1}{2}\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Зная, что значение тангенса для $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (или $\frac{\sqrt{3}}{3}$), получаем:

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{6}$.