Номер 65, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = e^{2x} - 2xe;$

2) $f(x) = e^{12x-x^2+4};$

3) $f(x) = e^{x^3};$

4) $f(x) = (2x - 1)e^{4x};$

5) $f(x) = (9 - x)e^{9-x};$

6) $f(x) = xe^{-\frac{x}{3}};$

7) $f(x) = (x^2 - x - 5)e^{x+4};$

8) $f(x) = \frac{e^x}{x - 1};$

9) $f(x) = 1 - x\ln x;$

10) $f(x) = x^4\ln x;$

11) $f(x) = x^3 \log_3 x;$

12) $f(x) = \frac{x}{\ln^2 x}.$

1) $f(x) = e^{2x} - 2xe$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (e^{2x} - 2xe)' = (e^{2x})' - (2ex)' = 2e^{2x} - 2e$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$2e^{2x} - 2e = 0$
$e^{2x} = e$
$2x = 1$
$x = 1/2$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения: $(-\infty; 1/2)$ и $(1/2; +\infty)$.
При $x < 1/2$, например $x=0$, имеем $f'(0) = 2e^0 - 2e = 2 - 2e < 0$, значит, функция убывает.
При $x > 1/2$, например $x=1$, имеем $f'(1) = 2e^2 - 2e = 2e(e-1) > 0$, значит, функция возрастает.

5. В точке $x = 1/2$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1/2; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 1/2]$. Точка минимума: $x_{min} = 1/2$.

2) $f(x) = e^{12x-x^2+4}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (e^{12x-x^2+4})' = e^{12x-x^2+4} \cdot (12x-x^2+4)' = (12-2x)e^{12x-x^2+4}$.

3. Найдём критические точки. Так как $e^{12x-x^2+4} > 0$ для любого $x$, то знак производной зависит только от множителя $(12-2x)$.
$12-2x = 0$
$2x = 12$
$x = 6$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 6)$ и $(6; +\infty)$.
При $x < 6$, $12-2x > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.
При $x > 6$, $12-2x < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.

5. В точке $x = 6$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 6]$, убывает на промежутке $[6; +\infty)$. Точка максимума: $x_{max} = 6$.

3) $f(x) = e^{x^3}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot (x^3)' = 3x^2e^{x^3}$.

3. Найдём критические точки: $3x^2e^{x^3} = 0$. Так как $e^{x^3} > 0$, то $3x^2 = 0$, откуда $x=0$.

4. Определим знаки производной. Так как $e^{x^3} > 0$ и $3x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $f'(x) \ge 0$ на всей области определения. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

5. Поскольку производная не меняет знак, точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

4) $f(x) = (2x-1)e^{4x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную, используя правило произведения: $f'(x) = (2x-1)'e^{4x} + (2x-1)(e^{4x})' = 2e^{4x} + (2x-1) \cdot 4e^{4x} = e^{4x}(2 + 8x - 4) = (8x-2)e^{4x}$.

3. Найдём критические точки: $(8x-2)e^{4x} = 0$. Так как $e^{4x} > 0$, то $8x-2=0$, откуда $x = 2/8 = 1/4$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 1/4)$ и $(1/4; +\infty)$.
При $x < 1/4$, $8x-2 < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.
При $x > 1/4$, $8x-2 > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

5. В точке $x = 1/4$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1/4; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 1/4]$. Точка минимума: $x_{min} = 1/4$.

5) $f(x) = (9-x)e^{9-x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = (9-x)'e^{9-x} + (9-x)(e^{9-x})' = -1 \cdot e^{9-x} + (9-x) \cdot e^{9-x} \cdot (-1) = e^{9-x}(-1 - (9-x)) = e^{9-x}(x-10)$.

3. Найдём критические точки: $e^{9-x}(x-10) = 0$. Так как $e^{9-x} > 0$, то $x-10=0$, откуда $x = 10$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 10)$ и $(10; +\infty)$.
При $x < 10$, $x-10 < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.
При $x > 10$, $x-10 > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

5. В точке $x = 10$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[10; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 10]$. Точка минимума: $x_{min} = 10$.

6) $f(x) = xe^{-x/3}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = (x)'e^{-x/3} + x(e^{-x/3})' = 1 \cdot e^{-x/3} + x \cdot e^{-x/3} \cdot (-1/3) = e^{-x/3}(1 - x/3)$.

3. Найдём критические точки: $e^{-x/3}(1 - x/3) = 0$. Так как $e^{-x/3} > 0$, то $1 - x/3 = 0$, откуда $x = 3$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.
При $x < 3$, $1 - x/3 > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.
При $x > 3$, $1 - x/3 < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.

5. В точке $x = 3$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$, убывает на промежутке $[3; +\infty)$. Точка максимума: $x_{max} = 3$.

7) $f(x) = (x^2-x-5)e^{x+4}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = (x^2-x-5)'e^{x+4} + (x^2-x-5)(e^{x+4})' = (2x-1)e^{x+4} + (x^2-x-5)e^{x+4} = e^{x+4}(2x-1+x^2-x-5) = e^{x+4}(x^2+x-6)$.

3. Найдём критические точки: $e^{x+4}(x^2+x-6) = 0$. Так как $e^{x+4} > 0$, то $x^2+x-6=0$. Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком квадратного трёхчлена $x^2+x-6$ (парабола с ветвями вверх).
При $x \in (-\infty; -3)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x \in (-3; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -3$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка максимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 2]$. Точка максимума: $x_{max} = -3$, точка минимума: $x_{min} = 2$.

8) $f(x) = \frac{e^x}{x-1}$

1. Область определения функции: знаменатель не равен нулю, $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Найдём производную по правилу частного: $f'(x) = \frac{(e^x)'(x-1) - e^x(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{e^x(x-1) - e^x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{e^x(x-1-1)}{(x-1)^2} = \frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}$.

3. Найдём критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow e^x(x-2) = 0$. Так как $e^x > 0$, то $x-2=0$, откуда $x=2$. Производная не определена в точке $x=1$, которая не входит в область определения функции.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Знаменатель $(x-1)^2 > 0$ и $e^x > 0$, поэтому знак $f'(x)$ зависит от знака $(x-2)$.
При $x \in (-\infty; 1)$, $x-2 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (1; 2)$, $x-2 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (2; +\infty)$, $x-2 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = 2$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; 2]$. Точка минимума: $x_{min} = 2$.

9) $f(x) = 1 - x\ln x$

1. Область определения функции: под знаком логарифма должно быть положительное число, $x>0$. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = (1)' - (x\ln x)' = 0 - ((x)'\ln x + x(\ln x)') = - (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = -(\ln x + 1)$.

3. Найдём критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow -(\ln x + 1) = 0 \Rightarrow \ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = 1/e$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0; 1/e)$ и $(1/e; +\infty)$.
При $x \in (0; 1/e)$, $\ln x < -1$, $\ln x + 1 < 0$, значит $f'(x) = -(\ln x + 1) > 0$ и функция возрастает.
При $x \in (1/e; +\infty)$, $\ln x > -1$, $\ln x + 1 > 0$, значит $f'(x) = -(\ln x + 1) < 0$ и функция убывает.

5. В точке $x = 1/e$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; 1/e]$, убывает на промежутке $[1/e; +\infty)$. Точка максимума: $x_{max} = 1/e$.

10) $f(x) = x^4\ln x$

1. Область определения функции: $x>0$. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = (x^4)'\ln x + x^4(\ln x)' = 4x^3\ln x + x^4 \cdot \frac{1}{x} = 4x^3\ln x + x^3 = x^3(4\ln x + 1)$.

3. Найдём критические точки: $x^3(4\ln x + 1)=0$. Так как $x>0$, $x^3 \neq 0$. Значит, $4\ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -1/4 \Rightarrow x = e^{-1/4}$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0; e^{-1/4})$ и $(e^{-1/4}; +\infty)$. Так как $x^3 > 0$ в области определения, знак $f'(x)$ зависит от знака $(4\ln x + 1)$.
При $x \in (0; e^{-1/4})$, $\ln x < -1/4$, $4\ln x + 1 < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.
При $x \in (e^{-1/4}; +\infty)$, $\ln x > -1/4$, $4\ln x + 1 > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

5. В точке $x = e^{-1/4}$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[e^{-1/4}; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; e^{-1/4}]$. Точка минимума: $x_{min} = e^{-1/4}$.

11) $f(x) = x^3\log_3 x$

1. Область определения функции: $x>0$. $D(f) = (0; +\infty)$. Используем формулу перехода к натуральному логарифму: $f(x) = x^3 \frac{\ln x}{\ln 3}$.

2. Найдём производную: $f'(x) = \frac{1}{\ln 3}(x^3\ln x)' = \frac{1}{\ln 3}((x^3)'\ln x + x^3(\ln x)') = \frac{1}{\ln 3}(3x^2\ln x + x^3 \frac{1}{x}) = \frac{x^2(3\ln x + 1)}{\ln 3}$.

3. Найдём критические точки: $f'(x)=0$. Так как $x>0$ и $\ln 3 > 0$, то $3\ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -1/3 \Rightarrow x = e^{-1/3}$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0; e^{-1/3})$ и $(e^{-1/3}; +\infty)$. Так как $\frac{x^2}{\ln 3} > 0$, знак $f'(x)$ зависит от знака $(3\ln x + 1)$.
При $x \in (0; e^{-1/3})$, $\ln x < -1/3$, $3\ln x + 1 < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.
При $x \in (e^{-1/3}; +\infty)$, $\ln x > -1/3$, $3\ln x + 1 > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

5. В точке $x = e^{-1/3}$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[e^{-1/3}; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; e^{-1/3}]$. Точка минимума: $x_{min} = e^{-1/3}$.

12) $f(x) = \frac{x}{\ln^2 x}$

1. Область определения функции: $x>0$ и $\ln^2 x \neq 0 \Rightarrow \ln x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(f) = (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = \frac{(x)'\ln^2 x - x(\ln^2 x)'}{(\ln^2 x)^2} = \frac{1 \cdot \ln^2 x - x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^4 x} = \frac{\ln^2 x - 2\ln x}{\ln^4 x} = \frac{\ln x(\ln x - 2)}{\ln^4 x} = \frac{\ln x - 2}{\ln^3 x}$.

3. Найдём критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow \ln x - 2 = 0 \Rightarrow \ln x = 2 \Rightarrow x = e^2$. Производная не определена в точке $x=1$, которая не входит в область определения.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0; 1)$, $(1; e^2)$ и $(e^2; +\infty)$.
При $x \in (0; 1)$: $\ln x < 0$. Тогда $\ln x - 2 < 0$ и $\ln^3 x < 0$. $f'(x) = \frac{(-)}{(-)} > 0$, функция возрастает.
При $x \in (1; e^2)$: $\ln x > 0$. Тогда $\ln x - 2 < 0$ и $\ln^3 x > 0$. $f'(x) = \frac{(-)}{(+)} < 0$, функция убывает.
При $x \in (e^2; +\infty)$: $\ln x > 2$. Тогда $\ln x - 2 > 0$ и $\ln^3 x > 0$. $f'(x) = \frac{(+)}{(+)} > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = e^2$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(0; 1)$ и $[e^2; +\infty)$, убывает на промежутке $(1; e^2]$. Точка минимума: $x_{min} = e^2$.