Номер 72, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Является ли функция $F(x) = \frac{6}{x^2} - 4$ первообразной функцией $f(x) = -\frac{12}{x^3}$ на промежутке:

1) $(0; +\infty);$

2) $(-3; 3);$

3) $(-\infty; 0];$

4) $[-5; 0)?$

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Для проверки этого условия найдем производную функции $F(x) = \frac{6}{x^2} - 4$.

Представим функцию в виде $F(x) = 6x^{-2} - 4$.

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$F'(x) = (6x^{-2} - 4)' = (6x^{-2})' - (4)' = 6 \cdot (-2)x^{-2-1} - 0 = -12x^{-3} = -\frac{12}{x^3}$.

Мы получили, что $F'(x) = f(x)$.

Однако, для того чтобы $F(x)$ была первообразной на промежутке, она должна быть определена и дифференцируема в каждой точке этого промежутка. Функция $F(x) = \frac{6}{x^2} - 4$ не определена в точке $x=0$, так как знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $F(x)$ не может быть первообразной на любом промежутке, содержащем точку $x=0$.

Рассмотрим каждый из предложенных промежутков:

1) (0; +∞)

Промежуток $(0; +∞)$ не содержит точку $x=0$. На этом промежутке функция $F(x)$ определена, дифференцируема, и ее производная равна $f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да.

2) (-3; 3)

Промежуток $(-3; 3)$ содержит точку $x=0$. В этой точке функция $F(x)$ не определена, а значит, не может быть первообразной на всем промежутке.

Ответ: Нет.

3) (-∞; 0)

Промежуток $(-\infty; 0)$ не содержит точку $x=0$. На этом промежутке функция $F(x)$ определена, дифференцируема, и ее производная равна $f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да.

4) [-5; 0)?

Промежуток $[-5; 0)$ не содержит точку $x=0$. На этом промежутке функция $F(x)$ определена, дифференцируема, и ее производная равна $f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да.