Номер 77, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = (3x - 1)^3$;

2) $f(x) = \cos 7x$;

3) $f(x) = \sin \frac{x}{5}$;

4) $f(x) = \frac{4}{\cos^2 \frac{x}{6}}$ на промежутке $(-3\pi; 3\pi)$;

5) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{2x - 1}}$ на промежутке $(\frac{1}{2}; +\infty)$;

6) $f(x) = \frac{1}{(4x + 3)^2}$ на промежутке $(-\frac{3}{4}; +\infty)$;

7) $f(x) = 3^{2x} \ln 3$;

8) $f(x) = e^{-5x}$;

9) $f(x) = e^{2x} - 7^{\frac{x}{3}}$;

10) $f(x) = 2^{-x} \ln 2 + e^{-0,5x}$;

11) $f(x) = 6e^{3x-4} + 8e^{1-4x}$.

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = (3x - 1)^3$ используем формулу интегрирования степенной функции со сложным аргументом: $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
В нашем случае $k=3$, $b=-1$, $n=3$.
$F(x) = \int (3x - 1)^3 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^{3+1}}{3+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^4}{4} + C = \frac{(3x-1)^4}{12} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(3x-1)^4}{12} + C$.

2) Для функции $f(x) = \cos(7x)$ используем формулу для первообразной косинуса: $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$.
Здесь $k=7$.
$F(x) = \int \cos(7x) dx = \frac{1}{7}\sin(7x) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{7}\sin(7x) + C$.

3) Для функции $f(x) = \sin(\frac{x}{5})$ используем формулу для первообразной синуса: $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.
Здесь $k = \frac{1}{5}$.
$F(x) = \int \sin(\frac{x}{5}) dx = -\frac{1}{1/5}\cos(\frac{x}{5}) + C = -5\cos(\frac{x}{5}) + C$.
Ответ: $F(x) = -5\cos(\frac{x}{5}) + C$.

4) Для функции $f(x) = \frac{4}{\cos^2(\frac{x}{6})}$ используем табличную первообразную для $\frac{1}{\cos^2(x)}$, которая равна $\tan(x)$, и правило для сложного аргумента: $\int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\tan(kx) + C$.
$F(x) = 4 \int \frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{6})} = 4 \cdot \frac{1}{1/6} \tan(\frac{x}{6}) + C = 4 \cdot 6 \tan(\frac{x}{6}) + C = 24\tan(\frac{x}{6}) + C$.
Данная первообразная определена на всем промежутке $(-3\pi; 3\pi)$.
Ответ: $F(x) = 24\tan(\frac{x}{6}) + C$.

5) Функцию $f(x) = \frac{4}{\sqrt{2x - 1}}$ представим в виде $f(x) = 4(2x-1)^{-1/2}$ и используем формулу для степенной функции $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
Здесь $k=2$, $b=-1$, $n=-1/2$.
$F(x) = 4 \int (2x-1)^{-1/2} dx = 4 \cdot \frac{1}{2} \frac{(2x-1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 2 \frac{(2x-1)^{1/2}}{1/2} + C = 4\sqrt{2x-1} + C$.
Ответ: $F(x) = 4\sqrt{2x-1} + C$.

6) Функцию $f(x) = \frac{1}{(4x+3)^2}$ представим в виде $f(x) = (4x+3)^{-2}$ и используем формулу для степенной функции $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
Здесь $k=4$, $b=3$, $n=-2$.
$F(x) = \int (4x+3)^{-2} dx = \frac{1}{4} \frac{(4x+3)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{1}{4} \frac{(4x+3)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{4(4x+3)} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{4(4x+3)} + C$.

7) Для функции $f(x) = 3^{2x} \ln 3$ заметим, что производная показательной функции $(a^{kx})' = a^{kx} \cdot \ln a \cdot k$.
Найдем производную от $3^{2x}$: $(3^{2x})' = 3^{2x} \ln 3 \cdot 2$.
Исходная функция в 2 раза меньше, чем производная от $3^{2x}$. Следовательно, искомая первообразная будет $F(x) = \frac{1}{2} \cdot 3^{2x} + C$.
$F(x) = \int 3^{2x} \ln 3 dx = \ln 3 \int 3^{2x} dx = \ln 3 \cdot \frac{3^{2x}}{2 \ln 3} + C = \frac{3^{2x}}{2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{3^{2x}}{2} + C$.

8) Для функции $f(x) = e^{-5x}$ используем формулу для первообразной экспоненты: $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$.
Здесь $k=-5$.
$F(x) = \int e^{-5x} dx = \frac{1}{-5}e^{-5x} + C = -\frac{1}{5}e^{-5x} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{5}e^{-5x} + C$.

9) Для функции $f(x) = e^{2x} - 7^{\frac{x}{3}}$ находим первообразную для каждого слагаемого по отдельности.
Первообразная для $e^{2x}$ равна $\frac{1}{2}e^{2x}$.
Для $7^{\frac{x}{3}}$ используем формулу $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$. Здесь $a=7, k=1/3$.
$\int 7^{\frac{x}{3}} dx = \frac{7^{x/3}}{(1/3)\ln 7} = \frac{3 \cdot 7^{x/3}}{\ln 7}$.
Общий вид первообразной: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{3 \cdot 7^{x/3}}{\ln 7} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{3 \cdot 7^{x/3}}{\ln 7} + C$.

10) Для функции $f(x) = 2^{-x} \ln 2 + e^{-0.5x}$ находим первообразную для каждого слагаемого.
Для первого слагаемого заметим, что $(2^{-x})' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x}\ln 2$. Значит, $\int 2^{-x}\ln 2 dx = -2^{-x}$.
Для второго слагаемого: $\int e^{-0.5x} dx = \frac{1}{-0.5}e^{-0.5x} = -2e^{-0.5x}$.
Складывая результаты, получаем: $F(x) = -2^{-x} - 2e^{-0.5x} + C$.
Ответ: $F(x) = -2^{-x} - 2e^{-0.5x} + C$.

11) Для функции $f(x) = 6e^{3x-4} + 8e^{1-4x}$ находим первообразную для каждого слагаемого.
Для первого слагаемого: $\int 6e^{3x-4} dx = 6 \cdot \frac{1}{3} e^{3x-4} = 2e^{3x-4}$.
Для второго слагаемого: $\int 8e^{1-4x} dx = 8 \cdot \frac{1}{-4} e^{1-4x} = -2e^{1-4x}$.
Общий вид первообразной: $F(x) = 2e^{3x-4} - 2e^{1-4x} + C$.
Ответ: $F(x) = 2e^{3x-4} - 2e^{1-4x} + C$.