Номер 73, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. Является ли функция $F(x)=|x+3|$ первообразной функции $f(x)=1$ на промежутке:

1) $(-1; 3);$

2) $(-4; 1)?$

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $F(x) = |x + 3|$. Раскроем модуль, представив функцию в кусочно-заданном виде:

$F(x) = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3 \\ -(x + 3), & \text{если } x + 3 < 0 \implies x < -3 \end{cases}$

Теперь найдем производную функции $F(x)$ на каждом из интервалов:

$F'(x) = \begin{cases} (x + 3)' = 1, & \text{если } x > -3 \\ (-x - 3)' = -1, & \text{если } x < -3 \end{cases}$

В точке $x = -3$ функция $F(x)$ не является дифференцируемой, так как ее график имеет излом, а левосторонняя и правосторонняя производные в этой точке не равны. Левосторонняя производная равна -1, а правосторонняя равна 1. Следовательно, производная $F'(-3)$ не существует.

Теперь проверим заданные промежутки.

1) $(-1; 3)$

Для любого $x$ из промежутка $(-1; 3)$ выполняется неравенство $x > -3$. На этом промежутке, согласно определению функции $F(x)$, имеем $F(x) = x + 3$.

Производная функции на этом промежутке равна $F'(x) = (x + 3)' = 1$.

Так как для всех $x \in (-1; 3)$ выполняется равенство $F'(x) = 1 = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на данном промежутке.

Ответ: Да, является.

2) $(-4; 1)$

Промежуток $(-4; 1)$ содержит точку $x = -3$. Как было показано выше, в точке $x = -3$ производная функции $F(x)$ не существует.

Поскольку первообразная должна быть дифференцируема во всех точках заданного промежутка, а функция $F(x)$ не дифференцируема в точке $x=-3$, которая принадлежит промежутку $(-4; 1)$, то $F(x)$ не является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Более того, на части промежутка $(-4; -3)$ производная $F'(x) = -1$, что не равно $f(x) = 1$.

Ответ: Нет, не является.