Номер 70, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. При каких значениях $a$ функция $f(x) = 3^a x \ln 3 - 27x \ln 3 - 3^{3x-2}$ убывает на множестве действительных чисел?

Для того чтобы дифференцируемая функция $f(x)$ убывала на множестве действительных чисел, необходимо и достаточно, чтобы ее производная $f'(x)$ была неположительна для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $f'(x) \le 0$.

Найдем производную данной функции $f(x) = 3^a x \ln 3 - 27x \ln 3 - 3^{3x-2}$.

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие $x$: $f(x) = (3^a \ln 3 - 27 \ln 3)x - 3^{3x-2}$.

Теперь найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = ((3^a - 27) \ln 3 \cdot x)' - (3^{3x-2})'$

Производная первого слагаемого по $x$ равна константе $(3^a - 27) \ln 3$.

Для нахождения производной второго слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции и формулу $(k^u)' = k^u \ln k \cdot u'$:

$(3^{3x-2})' = 3^{3x-2} \cdot \ln 3 \cdot (3x-2)' = 3^{3x-2} \cdot \ln 3 \cdot 3 = 3^{3x-2+1} \ln 3 = 3^{3x-1} \ln 3$.

Таким образом, производная исходной функции равна:

$f'(x) = (3^a - 27) \ln 3 - 3^{3x-1} \ln 3$

Вынесем общий множитель $\ln 3$ за скобки:

$f'(x) = \ln 3 (3^a - 27 - 3^{3x-1})$

Теперь решим неравенство $f'(x) \le 0$:

$\ln 3 (3^a - 27 - 3^{3x-1}) \le 0$

Поскольку $\ln 3$ — положительная константа ($\ln 3 > 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $\ln 3$, не изменяя знака неравенства:

$3^a - 27 - 3^{3x-1} \le 0$

Данное неравенство должно выполняться для всех действительных значений $x$. Перепишем его в виде:

$3^a - 27 \le 3^{3x-1}$

В левой части этого неравенства стоит константа (величина, не зависящая от $x$), а в правой — показательная функция $g(x) = 3^{3x-1}$. Область значений показательной функции $y=k^t$ при $k > 1$ — это интервал $(0, +\infty)$. Следовательно, множество значений функции $g(x) = 3^{3x-1}$ также есть $(0, +\infty)$.

Чтобы неравенство $3^a - 27 \le 3^{3x-1}$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы константа $3^a - 27$ была меньше или равна любому значению функции $3^{3x-1}$. Это означает, что $3^a - 27$ должно быть меньше или равно наименьшему значению (точнее, инфимуму) функции $3^{3x-1}$. Инфимум множества значений $(0, +\infty)$ равен 0.

Таким образом, мы приходим к неравенству:

$3^a - 27 \le 0$

$3^a \le 27$

Представим $27$ как степень числа $3$: $27 = 3^3$.

$3^a \le 3^3$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к сравнению показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$a \le 3$

Ответ: $a \in (-\infty, 3]$.