Номер 59, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Решите неравенство $f'(x) \geq g'(x)$, если $f(x) = 1.5x^2 + 2x$, $g(x) = \ln(-2x)$.

Для решения неравенства $f'(x) \ge g'(x)$ сначала найдем производные заданных функций и определим область допустимых значений (ОДЗ).

Даны функции $f(x) = 1,5x^2 + 2x$ и $g(x) = \ln(-2x)$.

Область определения функции $g(x) = \ln(-2x)$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$-2x > 0$

Разделив обе части на -2 и изменив знак неравенства, получаем $x < 0$. Это и есть ОДЗ для всего неравенства, так как функция $f(x)$ и ее производная определены при любых действительных $x$.

Теперь найдем производные:

$f'(x) = (1,5x^2 + 2x)' = 1,5 \cdot 2x^{2-1} + 2 = 3x + 2$.

Для $g(x)$ используем правило производной сложной функции:

$g'(x) = (\ln(-2x))' = \frac{1}{-2x} \cdot (-2x)' = \frac{1}{-2x} \cdot (-2) = \frac{1}{x}$.

Подставим производные в исходное неравенство $f'(x) \ge g'(x)$:

$3x + 2 \ge \frac{1}{x}$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$3x + 2 - \frac{1}{x} \ge 0$

$\frac{3x \cdot x + 2 \cdot x - 1}{x} \ge 0$

$\frac{3x^2 + 2x - 1}{x} \ge 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя найдем из квадратного уравнения $3x^2 + 2x - 1 = 0$:

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Корни: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Нанесем точки $-1$, $0$ и $1/3$ на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), нули числителя ($x=-1$ и $x=1/3$) являются решениями и отмечаются закрашенными точками. Нуль знаменателя ($x=0$) всегда исключается из решения и отмечается выколотой точкой.

Определим знаки дроби $\frac{3x^2 + 2x - 1}{x}$ на полученных интервалах:

• При $x \in (1/3; +\infty)$, например $x=1$: $\frac{3(1)^2+2(1)-1}{1} = 4 > 0$. Знак "+".
• При $x \in (0; 1/3)$, например $x=0.1$: $\frac{3(0.1)^2+2(0.1)-1}{0.1} = \frac{-0.77}{0.1} < 0$. Знак "–".
• При $x \in (-1; 0)$, например $x=-0.5$: $\frac{3(-0.5)^2+2(-0.5)-1}{-0.5} = \frac{0.75-1-1}{-0.5} > 0$. Знак "+".
• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$: $\frac{3(-2)^2+2(-2)-1}{-2} = \frac{7}{-2} < 0$. Знак "–".

Выбираем интервалы, где значение дроби больше или равно нулю (знак "+"). Решением неравенства является объединение промежутков: $x \in [-1; 0) \cup [1/3; +\infty)$.

На последнем шаге сопоставим полученное решение с ОДЗ ($x < 0$).

Найдем пересечение множеств $[-1; 0) \cup [1/3; +\infty)$ и $(-\infty; 0)$.

Общим для обоих множеств является интервал $[-1; 0)$.

Ответ: $x \in [-1; 0)$.