Номер 34, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) $\log_a 10 < \log_a 9.6;$

2) $\log_a 0.4 > \log_a 0.3.$

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство монотонности логарифмической функции $y = \log_a(x)$. Поведение функции зависит от её основания $a$ (которое по определению должно быть $a > 0$ и $a \ne 1$).

• Если основание логарифма больше единицы ($a > 1$), то логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть, если $x_2 > x_1$, то $\log_a(x_2) > \log_a(x_1)$. Знак неравенства сохраняется.
• Если основание логарифма находится между нулём и единицей ($0 < a < 1$), то логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть, если $x_2 > x_1$, то $\log_a(x_2) < \log_a(x_1)$. Знак неравенства меняется на противоположный.

1) Дано неравенство $\log_a(10) < \log_a(9,6)$.

Сравним аргументы логарифмов: $10$ и $9,6$.

Очевидно, что $10 > 9,6$.

По условию задачи, $\log_a(10) < \log_a(9,6)$.

Мы видим, что большему значению аргумента ($10$) соответствует меньшее значение логарифма. Знак неравенства для аргументов ($>$) противоположен знаку неравенства для логарифмов ($<$). Такое свойство характерно для убывающей функции.

Следовательно, основание логарифма $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

Ответ: основание логарифма меньше единицы ($0 < a < 1$).

2) Дано неравенство $\log_a(0,4) > \log_a(0,3)$.

Сравним аргументы логарифмов: $0,4$ и $0,3$.

Очевидно, что $0,4 > 0,3$.

По условию задачи, $\log_a(0,4) > \log_a(0,3)$.

В этом случае большему значению аргумента ($0,4$) соответствует большее значение логарифма. Знак неравенства для аргументов ($>$) совпадает со знаком неравенства для логарифмов ($>$). Такое свойство характерно для возрастающей функции.

Следовательно, основание логарифма $a$ удовлетворяет условию $a > 1$.

Ответ: основание логарифма больше единицы ($a > 1$).