Номер 28, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. Вычислите значение выражения

$3^{\frac{2}{\log_{\sqrt{5}} 3} + \frac{1}{3}\log_3 8} - 27\log_2 \sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}$

Для вычисления значения данного выражения, разделим его на две части и упростим каждую по отдельности.

Сначала преобразуем показатель степени. Он состоит из двух частей.

Первая часть показателя: $\frac{2}{\log_{\sqrt{5}}3}$. Используем свойство логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

$\frac{2}{\log_{\sqrt{5}}3} = 2 \cdot \frac{1}{\log_{\sqrt{5}}3} = 2 \log_3 \sqrt{5}$.

Далее, по свойству $c \log_b a = \log_b a^c$, получаем:

$2 \log_3 \sqrt{5} = \log_3 ((\sqrt{5})^2) = \log_3 5$.

Вторая часть показателя: $\frac{1}{3}\log_3 8$. Аналогично, используем свойство $c \log_b a = \log_b a^c$:

$\frac{1}{3}\log_3 8 = \log_3(8^{\frac{1}{3}}) = \log_3(\sqrt[3]{8}) = \log_3 2$.

Теперь сложим обе части показателя, используя свойство $\log_b a + \log_b c = \log_b(ac)$:

$\log_3 5 + \log_3 2 = \log_3 (5 \cdot 2) = \log_3 10$.

Таким образом, первое слагаемое выражения равно:

$3^{\log_3 10}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$3^{\log_3 10} = 10$.

Сначала преобразуем выражение под логарифмом в показателе степени: $\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}$.

$\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}} = \sqrt[4]{2^1 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[4]{2^{1+\frac{1}{3}}} = \sqrt[4]{2^{\frac{4}{3}}} = (2^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 4}} = 2^{\frac{1}{3}}$.

Теперь сам показатель степени: $\log_2(2^{\frac{1}{3}})$.

По свойству $\log_b a^c = c \log_b a$, получаем:

$\log_2(2^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \log_2 2 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

Таким образом, второе слагаемое выражения равно:

$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Теперь, когда мы упростили обе части исходного выражения, мы можем найти его значение, вычитая второе из первого:

$10 - 3 = 7$.

Ответ: 7