Номер 3, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. В двух колодах лежат по девять карточек с номерами 1, 2, ..., 9. Наугад выбирают по две карточки из каждой колоды. Какова вероятность того, что на всех четырёх выбранных карточках будут записаны чётные числа?

Пусть событие $A$ заключается в том, что на всех четырех выбранных карточках записаны чётные числа. Это событие можно разбить на два независимых события:

• Событие $A_1$: из первой колоды выбраны две карточки с чётными номерами.
• Событие $A_2$: из второй колоды выбраны две карточки с чётными номерами.

Вероятность события $A$ равна произведению вероятностей этих независимых событий:

$P(A) = P(A_1) \times P(A_2)$

Рассчитаем вероятность события $A_1$. В каждой колоде 9 карточек с номерами от 1 до 9. Среди них 4 карточки с чётными номерами (2, 4, 6, 8) и 5 карточек с нечётными номерами (1, 3, 5, 7, 9).

Общее число способов выбрать 2 карточки из 9 можно найти с помощью формулы сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число исходов (способов выбрать 2 карточки из 9):

$N = C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

Число благоприятных исходов (способов выбрать 2 чётные карточки из 4 имеющихся чётных):

$M = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

Таким образом, вероятность выбрать две чётные карточки из первой колоды ($A_1$) равна:

$P(A_1) = \frac{M}{N} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Поскольку вторая колода идентична первой, условия для неё точно такие же, и вероятность выбрать две чётные карточки из второй колоды ($A_2$) также равна $\frac{1}{6}$.

$P(A_2) = \frac{1}{6}$

Теперь можем найти итоговую вероятность события $A$:

$P(A) = P(A_1) \times P(A_2) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$