Номер 5, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Из натуральных чисел от 1 до 37 включительно наугад выбирают семь чисел. Какова вероятность того, что среди выбранных чисел не менее двух окажутся кратными числу 4?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

1. Найдем общее число исходов $N$.

Общее число исходов — это количество способов выбрать 7 чисел из 37. Порядок выбора не важен, поэтому используем формулу для числа сочетаний:

$N = C_{37}^7 = \frac{37!}{7!(37-7)!} = \frac{37!}{7!30!}$

$N = \frac{37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10295472$

2. Найдем число благоприятствующих исходов $m$.

Событие $A$ — «среди выбранных семи чисел не менее двух окажутся кратными числу 4». Это означает, что таких чисел может быть 2, 3, 4, 5, 6 или 7.

Проще вычислить вероятность противоположного события $ \bar{A} $ — «среди выбранных семи чисел менее двух кратны 4». Это событие включает в себя два несовместных случая:

• Среди выбранных чисел нет ни одного, кратного 4.
• Среди выбранных чисел есть ровно одно, кратное 4.

Сначала определим, сколько чисел от 1 до 37 кратны 4. Это числа 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36. Всего таких чисел 9. Соответственно, чисел, не кратных 4, будет $37 - 9 = 28$.

Случай 1: Нет чисел, кратных 4.

Все 7 чисел выбираются из 28 чисел, которые не делятся на 4. Число таких способов:

$m_0 = C_{28}^7 = \frac{28!}{7!(28-7)!} = \frac{28!}{7!21!} = 1184040$

Случай 2: Ровно одно число кратно 4.

Нужно выбрать 1 число из 9, кратных 4, и 6 чисел из 28, не кратных 4. По правилу произведения, число таких способов:

$m_1 = C_9^1 \cdot C_{28}^6 = \frac{9!}{1!8!} \cdot \frac{28!}{6!22!} = 9 \cdot 376740 = 3390660$

Общее число исходов для противоположного события $ \bar{A} $ равно сумме исходов этих двух случаев:

$m(\bar{A}) = m_0 + m_1 = 1184040 + 3390660 = 4574700$

3. Найдем вероятность события $A$.

Вероятность противоположного события $ \bar{A} $ равна:

$P(\bar{A}) = \frac{m(\bar{A})}{N} = \frac{4574700}{10295472}$

Сократим дробь. Оба числа делятся на 12:

$P(\bar{A}) = \frac{381225}{857956}$

Оба числа делятся на 17:

$P(\bar{A}) = \frac{22425}{50468}$

Вероятность искомого события $A$ равна разности между единицей и вероятностью противоположного события:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{22425}{50468} = \frac{50468 - 22425}{50468} = \frac{28043}{50468}$

Ответ: $\frac{28043}{50468}$.