Номер 4, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Игральный кубик подбрасывают пять раз. Какова вероятность того, что четвёрка выпадет:

1) хотя бы один раз;

2) два раза?

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, так как подбрасывание кубика представляет собой серию независимых испытаний с двумя возможными исходами для нашего случая: выпадение четвёрки ("успех") или невыпадение четвёрки ("неудача").

Определим параметры:

• Количество испытаний (бросков): $n=5$.
• Вероятность "успеха" (выпадение четвёрки при одном броске): $p = \frac{1}{6}$.
• Вероятность "неудачи" (невыпадение четвёрки при одном броске): $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

1) хотя бы один раз;

Событие "четвёрка выпадет хотя бы один раз" является противоположным событию "четвёрка не выпадет ни разу". Проще найти вероятность противоположного события и вычесть её из единицы.

Вероятность того, что четвёрка не выпадет ни разу за 5 бросков, вычисляется как вероятность пяти "неудач" подряд:
$P(\text{0 успехов}) = q^n = (\frac{5}{6})^5 = \frac{5^5}{6^5} = \frac{3125}{7776}$.

Следовательно, искомая вероятность того, что четвёрка выпадет хотя бы один раз, равна:
$P(\text{хотя бы 1 успех}) = 1 - P(\text{0 успехов}) = 1 - \frac{3125}{7776} = \frac{7776 - 3125}{7776} = \frac{4651}{7776}$.
Ответ: $ \frac{4651}{7776} $.

2) два раза?

Для нахождения вероятности того, что четвёрка выпадет ровно $k=2$ раза в серии из $n=5$ бросков, используем формулу Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Подставляем наши значения в формулу:
$P_5(2) = C_5^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{5-2} = C_5^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^3$.

Сначала вычислим число сочетаний $C_5^2$:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Теперь подставим все значения в формулу и произведем вычисления:
$P_5(2) = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{10 \cdot 125}{36 \cdot 216} = \frac{1250}{7776}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}$.
Ответ: $ \frac{625}{3888} $.