Номер 3, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. В двух колодах лежат по одиннадцать карточек с номерами 1, 2, ..., 11. Наугад выбирают по две карточки из каждой колоды. Какова вероятность того, что на всех четырёх выбранных карточках будут записаны нечётные числа?

В каждой колоде 11 карточек с номерами от 1 до 11. Сначала определим, сколько среди них карточек с нечётными и чётными числами.

Нечётные числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11. Всего 6 нечётных чисел.

Чётные числа: 2, 4, 6, 8, 10. Всего 5 чётных чисел.

Задача состоит в том, чтобы найти вероятность того, что все четыре выбранные карточки (по две из каждой колоды) будут нечётными. Поскольку выбор карточек из одной колоды не зависит от выбора из другой, мы можем сначала найти вероятность выбора двух нечётных карточек из одной колоды, а затем перемножить эти вероятности, так как события независимы.

Шаг 1: Найдём вероятность вытащить две нечётные карточки из одной колоды.

Общее число способов выбрать 2 карточки из 11 равно числу сочетаний из 11 по 2:

$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$

Число способов выбрать 2 нечётные карточки из 6 имеющихся нечётных карточек равно числу сочетаний из 6 по 2:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

Вероятность $P_1$ вытащить две нечётные карточки из первой колоды равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P_1 = \frac{C_6^2}{C_{11}^2} = \frac{15}{55} = \frac{3}{11}$

Шаг 2: Найдём итоговую вероятность.

Поскольку колоды одинаковые, вероятность вытащить две нечётные карточки из второй колоды ($P_2$) будет такой же:

$P_2 = \frac{3}{11}$

События выбора карточек из первой и второй колоды независимы. Поэтому, чтобы найти вероятность того, что ОБА события произойдут, нужно перемножить их вероятности:

$P_{общая} = P_1 \times P_2 = \frac{3}{11} \times \frac{3}{11} = \frac{9}{121}$

Ответ: $\frac{9}{121}$