Номер 4, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Найдите первообразную функции $f(x) = 10 \cos 10x - \frac{1}{5} \sin \frac{x}{5}$, график которой проходит через точку $B\left(\frac{5\pi}{2}; -3\right)$.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 10\cos(10x) - \frac{1}{5}\sin(\frac{x}{5})$ необходимо найти её неопределённый интеграл. Общий вид первообразной $F(x)$ определяется формулой:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (10\cos(10x) - \frac{1}{5}\sin(\frac{x}{5})) dx$.

Интегрируем каждое слагаемое отдельно, используя основные правила и табличные интегралы:
$F(x) = \int 10\cos(10x) dx - \int \frac{1}{5}\sin(\frac{x}{5}) dx$.
Для первого слагаемого, используя формулу $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx)$, получаем:
$\int 10\cos(10x) dx = 10 \cdot \frac{1}{10}\sin(10x) = \sin(10x)$.
Для второго слагаемого, используя формулу $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)$, получаем:
$\int \frac{1}{5}\sin(\frac{x}{5}) dx = \frac{1}{5} \cdot (-\frac{1}{1/5}\cos(\frac{x}{5})) = -\cos(\frac{x}{5})$.
Таким образом, общий вид первообразной:
$F(x) = \sin(10x) - (-\cos(\frac{x}{5})) + C = \sin(10x) + \cos(\frac{x}{5}) + C$, где $C$ — константа интегрирования.

По условию, график искомой первообразной проходит через точку $B(\frac{5\pi}{2}, -3)$. Это означает, что $F(\frac{5\pi}{2}) = -3$. Подставим координаты точки в найденное уравнение, чтобы определить значение $C$:
$-3 = \sin(10 \cdot \frac{5\pi}{2}) + \cos(\frac{1}{5} \cdot \frac{5\pi}{2}) + C$.
Упростим аргументы тригонометрических функций и вычислим их значения:
$-3 = \sin(25\pi) + \cos(\frac{\pi}{2}) + C$.
Так как $\sin(25\pi) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$-3 = 0 + 0 + C$.
Отсюда следует, что $C = -3$.

Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной и получаем искомую функцию.
$F(x) = \sin(10x) + \cos(\frac{x}{5}) - 3$.

Ответ: $F(x) = \sin(10x) + \cos(\frac{x}{5}) - 3$.