Номер 5, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. На плоскости расположены 20 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в этих точках?

Для того чтобы найти количество четырёхугольников, вершины которых находятся в заданных точках, нам необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 4 точки из 20 имеющихся.

В условии задачи сказано, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Это ключевой момент, который гарантирует, что любая комбинация из 4-х выбранных точек будет образовывать невырожденный четырёхугольник (то есть, все 4 точки не будут лежать на одной прямой, и никакие 3 из них не будут лежать на одной прямой).

Таким образом, задача сводится к нахождению числа сочетаний из 20 элементов по 4. Порядок выбора точек не важен, так как набор вершин {A, B, C, D} определяет тот же самый четырёхугольник, что и, например, набор {B, A, D, C}.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество точек $n = 20$, а количество вершин в четырёхугольнике $k = 4$. Подставим эти значения в формулу:

$C_{20}^4 = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4! \cdot 16!}$

Распишем факториалы и произведем вычисления:

$C_{20}^4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 16!}$

Сократим $16!$ в числителе и знаменателе:

$C_{20}^4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{24}$

Теперь упростим выражение:

$C_{20}^4 = \frac{20}{4 \times 1} \times \frac{18}{3 \times 2} \times 19 \times 17 = 5 \times 3 \times 19 \times 17$

Перемножим полученные числа:

$15 \times 19 \times 17 = 285 \times 17 = 4845$

Следовательно, существует 4845 способов выбрать 4 вершины из 20 точек, а значит, можно составить 4845 различных четырёхугольников.

Ответ: 4845