Номер 2, страница 10, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2. Каким дифференциальным уравнением описываются свободные гармонические механические колебания? Как записывается решение этого дифференциального уравнения? Какими величинами характеризуется гармоническое колебание?

Каким дифференциальным уравнением описываются свободные гармонические механические колебания? Свободные гармонические механические колебания — это колебания, которые происходят в системе под действием только внутренних консервативных сил (например, силы упругости или силы тяжести) после того, как система была выведена из положения устойчивого равновесия. Рассмотрим классический пример — пружинный маятник, представляющий собой тело массой $m$, прикрепленное к пружине жесткостью $k$. Согласно второму закону Ньютона, произведение массы тела на его ускорение равно равнодействующей всех сил, приложенных к телу: $m\vec{a} = \vec{F}$. В случае свободных колебаний без учета сил трения, единственной силой, действующей на тело вдоль оси движения, является возвращающая сила упругости. По закону Гука, эта сила пропорциональна смещению $x$ от положения равновесия и направлена в противоположную сторону: $F_{упр} = -kx$. Ускорение $a$ является второй производной от смещения $x$ по времени $t$: $a = x''(t)$. Подставив все в закон Ньютона, получаем уравнение движения: $mx''(t) = -kx(t)$. Перенеся все члены в одну сторону, мы получаем: $mx''(t) + kx(t) = 0$. Обычно это уравнение делят на массу $m$, чтобы коэффициент при старшей производной был равен единице: $x''(t) + \frac{k}{m}x(t) = 0$. Отношение $\frac{k}{m}$ является постоянной величиной для данной системы и представляет собой квадрат собственной циклической частоты колебаний $\omega_0^2$. Таким образом, дифференциальное уравнение свободных гармонических механических колебаний имеет вид: $x''(t) + \omega_0^2 x(t) = 0$. Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Ответ: Свободные гармонические механические колебания описываются дифференциальным уравнением вида $x''(t) + \omega_0^2 x(t) = 0$, где $x(t)$ — смещение тела от положения равновесия, а $\omega_0$ — собственная циклическая частота колебательной системы.

Как записывается решение этого дифференциального уравнения? Решением дифференциального уравнения $x''(t) + \omega_0^2 x(t) = 0$ является функция $x(t)$, которая описывает изменение координаты (смещения) колеблющегося тела с течением времени. Общее решение этого уравнения, описывающее гармонический закон движения, может быть представлено в нескольких эквивалентных формах. Наиболее распространенной является запись через косинус: $x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi_0)$. В этой формуле каждая величина имеет свой физический смысл:

$x(t)$ — смещение тела от положения равновесия в момент времени $t$.

$A$ — амплитуда колебаний, то есть максимальное значение смещения от положения равновесия ($A \geq 0$).

$\omega_0$ — собственная циклическая (угловая) частота, которая зависит от физических свойств системы (например, от массы $m$ и жесткости $k$).

$\phi_0$ — начальная фаза колебаний, которая определяет состояние системы (ее смещение и скорость) в начальный момент времени $t=0$.

$(\omega_0 t + \phi_0)$ — полная фаза колебаний, определяющая состояние системы в любой момент времени $t$.

Постоянные $A$ и $\phi_0$ являются константами интегрирования и находятся из начальных условий, т.е. из положения $x(0)$ и скорости $v(0) = x'(0)$ тела в начальный момент времени.

Ответ: Решение дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний записывается в виде $x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega_0$ — циклическая частота, и $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Какими величинами характеризуется гармоническое колебание? Гармоническое колебание полностью определяется набором следующих физических величин:

1. Амплитуда ($A$) — это максимальное отклонение или смещение колеблющейся величины от положения равновесия. Амплитуда определяет "размах" колебаний. В СИ измеряется в метрах (м).

2. Период ($T$) — это наименьший промежуток времени, через который система возвращается в то же самое состояние (происходит одно полное колебание). В СИ измеряется в секундах (с).

3. Частота ($f$ или $\nu$) — это число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота является величиной, обратной периоду: $f = 1/T$. В СИ измеряется в герцах (Гц).

4. Циклическая (угловая) частота ($\omega_0$) — это величина, показывающая, на сколько радиан изменяется фаза колебаний за одну секунду. Она связана с обычной частотой и периодом соотношениями $\omega_0 = 2\pi f = 2\pi/T$. В СИ измеряется в радианах в секунду (рад/с).

5. Фаза колебаний ($\phi = \omega_0 t + \phi_0$) — это аргумент тригонометрической функции (синуса или косинуса) в уравнении колебаний. Фаза определяет состояние колебательной системы (например, смещение и скорость) в любой момент времени $t$. В СИ измеряется в радианах (рад).

6. Начальная фаза ($\phi_0$) — это значение фазы в начальный момент времени $t=0$. Она определяет исходное состояние системы. Измеряется в радианах (рад).

Ответ: Гармоническое колебание характеризуется амплитудой ($A$), периодом ($T$), частотой ($f$), циклической частотой ($\omega_0$) и фазой колебаний ($\phi$), которая включает в себя начальную фазу ($\phi_0$).