Задание(теоретический анализ), страница 10, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

Задание (теоретический анализ)

Опираясь на изученное выше, сделайте анализ графиков зависимости перемещения $\text{x}$, проекции скорости $v_x$, проекции ускорения $\text{a}$ от времени $\text{t}$. Сравнивая их самые большие значения и фазы, определите, в чем заключается особенность колебаний $\text{x}$, $v_x$ и $\text{a}$; какие параметры при этих колебаниях остаются неизменными? Напишите уравнения периодического колебания значений $\text{x}$, $v_x$ и $\text{a}$.

Анализ графиков зависимости перемещения x, проекции скорости v_x и проекции ускорения a_x от времени t при гармонических колебаниях показывает, что все эти величины изменяются по синусоидальному закону с одинаковой частотой, но с различными фазами и амплитудами.

Особенность колебаний x, v_x и a_x

Ключевая особенность заключается в сдвиге фаз между этими величинами:

1. Сдвиг фаз. Если за основу взять колебание перемещения, описываемое функцией косинуса, то колебания скорости и ускорения будут смещены относительно него.

• Колебания проекции скорости v_x опережают по фазе колебания перемещения x на $ \pi/2 $ (или на четверть периода $ T/4 $). Это означает, что когда смещение максимально ($ x = \pm A $), скорость равна нулю. Когда же тело проходит положение равновесия ($ x=0 $), его скорость максимальна по модулю.
• Колебания проекции ускорения a_x опережают по фазе колебания проекции скорости v_x на $ \pi/2 $ (на $ T/4 $).
• Колебания проекции ускорения a_x и перемещения x происходят в противофазе. Сдвиг фаз между ними составляет $ \pi $ (или полпериода $ T/2 $). Это значит, что вектор ускорения всегда направлен в сторону, противоположную вектору смещения (т.е. к положению равновесия). Ускорение достигает максимального значения по модулю в крайних точках траектории, где смещение максимально, и равно нулю в положении равновесия.

2. Амплитудные значения. Максимальные значения (амплитуды) этих величин связаны друг с другом через циклическую частоту $ \omega $:

• Амплитуда перемещения: $ x_{max} = A $
• Амплитуда скорости: $ v_{max} = A\omega $
• Амплитуда ускорения: $ a_{max} = A\omega^2 $

Неизменные параметры при колебаниях

В процессе гармонических колебаний (при отсутствии затухания) следующие физические величины остаются постоянными:

• Амплитуда $ A $ — максимальное отклонение от положения равновесия.
• Период $ T $ — время одного полного колебания.
• Частота $ f $ — число колебаний в единицу времени ($ f = 1/T $).
• Циклическая (круговая) частота $ \omega $ — число колебаний за $ 2\pi $ секунд ($ \omega = 2\pi/T $).
• Полная механическая энергия $ E $ — сумма кинетической и потенциальной энергий колеблющейся системы.

Уравнения периодического колебания значений x, v_x и a_x

Если предположить, что в начальный момент времени $ t=0 $ тело имело максимальное смещение $ x(0) = A $ (т.е. начальная фаза равна нулю), то уравнения движения будут иметь следующий вид:

1. Уравнение перемещения:

$ x(t) = A \cos(\omega t) $

2. Уравнение проекции скорости:

Скорость является первой производной от перемещения по времени $ v_x(t) = x'(t) $.

$ v_x(t) = -A\omega \sin(\omega t) = A\omega \cos(\omega t + \pi/2) $

3. Уравнение проекции ускорения:

Ускорение является второй производной от перемещения по времени $ a_x(t) = x''(t) $.

$ a_x(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t) = A\omega^2 \cos(\omega t + \pi) $

Из этого уравнения также следует основное свойство гармонических колебаний: $ a_x(t) = -\omega^2 x(t) $.

Ответ: Особенность колебаний перемещения, скорости и ускорения состоит в том, что они являются гармоническими с одинаковой частотой, но сдвинуты по фазе: скорость опережает перемещение на $ \pi/2 $, а ускорение опережает скорость на $ \pi/2 $ (и находится в противофазе с перемещением). Амплитуды скорости и ускорения пропорциональны амплитуде перемещения ($ v_{max} = A\omega $, $ a_{max} = A\omega^2 $). При колебаниях остаются неизменными амплитуда, период, частота и полная энергия системы. Уравнения колебаний (при $ x(0)=A $):

- перемещение: $ x(t) = A \cos(\omega t) $

- проекция скорости: $ v_x(t) = -A\omega \sin(\omega t) $

- проекция ускорения: $ a_x(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t) $