Номер 1.1.4, страница 12, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.1.4. На какую часть длины надо уменьшить длину математического маятника, чтобы период колебаний маятника на высоте пика Хан Танири (6995 м) был равен периоду его колебаний на поверхности Земли? (Ответ: $2 \cdot 10^{-3}$.)

Дано:

Высота пика, $h = 6995$ м

Средний радиус Земли (справочное значение), $R_З \approx 6400$ км

Период на высоте $h$ равен периоду на поверхности, $T_h = T_0$

Перевод в систему СИ:

$h = 6995$ м

$R_З \approx 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Относительное уменьшение длины маятника $\frac{\Delta L}{L_0}$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

где $L$ - длина маятника, а $g$ - ускорение свободного падения.

На поверхности Земли период колебаний маятника длиной $L_0$ равен:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g_0}}$

где $g_0$ - ускорение свободного падения на поверхности Земли.

На высоте $h$ от поверхности Земли период колебаний маятника длиной $L_h$ равен:

$T_h = 2\pi\sqrt{\frac{L_h}{g_h}}$

где $g_h$ - ускорение свободного падения на данной высоте.

Согласно условию задачи, периоды колебаний равны: $T_0 = T_h$.

$2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g_0}} = 2\pi\sqrt{\frac{L_h}{g_h}}$

Возведя обе части в квадрат и упростив, получаем соотношение между длинами и ускорениями:

$\frac{L_0}{g_0} = \frac{L_h}{g_h} \implies \frac{L_h}{L_0} = \frac{g_h}{g_0}$

Ускорение свободного падения, создаваемое Землей, обратно пропорционально квадрату расстояния до ее центра. Для поверхности Земли (расстояние $R_З$):

$g_0 = \frac{GM_З}{R_З^2}$

Для высоты $h$ (расстояние $R_З + h$):

$g_h = \frac{GM_З}{(R_З+h)^2}$

Найдем отношение ускорений:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{GM_З/(R_З+h)^2}{GM_З/R_З^2} = \frac{R_З^2}{(R_З+h)^2} = \left(\frac{R_З}{R_З+h}\right)^2$

Следовательно, отношение длин маятников:

$\frac{L_h}{L_0} = \left(\frac{R_З}{R_З+h}\right)^2$

Нас интересует, на какую часть длины надо уменьшить исходную длину $L_0$. Эта величина, $\frac{\Delta L}{L_0}$, вычисляется как:

$\frac{\Delta L}{L_0} = \frac{L_0 - L_h}{L_0} = 1 - \frac{L_h}{L_0}$

Подставим найденное отношение длин:

$\frac{\Delta L}{L_0} = 1 - \left(\frac{R_З}{R_З+h}\right)^2 = 1 - \left(\frac{1}{1 + h/R_З}\right)^2 = 1 - (1 + h/R_З)^{-2}$

Так как высота $h$ значительно меньше радиуса Земли $R_З$ ($h \ll R_З$), мы можем использовать формулу биномиального приближения $(1+x)^n \approx 1+nx$ для малых $x$. В нашем случае $x = h/R_З$ и $n = -2$.

$\frac{\Delta L}{L_0} \approx 1 - \left(1 - 2\frac{h}{R_З}\right) = 1 - 1 + 2\frac{h}{R_З} = 2\frac{h}{R_З}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\frac{\Delta L}{L_0} \approx 2 \cdot \frac{6995 \text{ м}}{6.4 \cdot 10^6 \text{ м}} = \frac{13990}{6.4 \cdot 10^6} \approx 0.002186$

Полученное значение близко к $2 \cdot 10^{-3}$. Округляя результат до одной значащей цифры, что является обычной практикой для подобных задач, получаем значение, указанное в ответе к задаче.

$\frac{\Delta L}{L_0} \approx 2 \cdot 10^{-3}$

Ответ: Длину маятника надо уменьшить на часть, равную $2 \cdot 10^{-3}$ от его первоначальной длины.