Номер 1.1.7, страница 12, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.1.7. Как изменится период колебаний маятника при перенесении его с Земли на Луну? Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Земли в 3,7 раза больше радиуса Луны. (Ответ: увеличится примерно в 2,4 раза.)

Дано:

$M_З = 81 \cdot M_Л$ (масса Земли в 81 раз больше массы Луны)

$R_З = 3,7 \cdot R_Л$ (радиус Земли в 3,7 раза больше радиуса Луны)

В данной задаче все величины заданы в относительных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Отношение периода колебаний маятника на Луне ($T_Л$) к периоду колебаний на Земле ($T_З$), то есть $\frac{T_Л}{T_З}$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Запишем формулы для периода колебаний маятника на Земле ($T_З$) и на Луне ($T_Л$):

$T_З = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}$

$T_Л = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_Л}}$

Здесь $g_З$ и $g_Л$ — ускорения свободного падения на поверхности Земли и Луны соответственно. Длина маятника $l$ не изменяется при его переносе.

Найдем отношение периодов, разделив второе уравнение на первое:

$\frac{T_Л}{T_З} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_Л}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}} = \sqrt{\frac{l/g_Л}{l/g_З}} = \sqrt{\frac{g_З}{g_Л}}$

Ускорение свободного падения на поверхности небесного тела с массой $M$ и радиусом $R$ определяется по закону всемирного тяготения:

$g = G\frac{M}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

Следовательно, для Земли и Луны:

$g_З = G\frac{M_З}{R_З^2}$

$g_Л = G\frac{M_Л}{R_Л^2}$

Найдем отношение ускорений свободного падения:

$\frac{g_З}{g_Л} = \frac{G\frac{M_З}{R_З^2}}{G\frac{M_Л}{R_Л^2}} = \frac{M_З}{M_Л} \cdot \frac{R_Л^2}{R_З^2} = \frac{M_З}{M_Л} \cdot \left(\frac{R_Л}{R_З}\right)^2$

Подставим в это выражение данные из условия задачи: $\frac{M_З}{M_Л} = 81$ и $\frac{R_З}{R_Л} = 3,7$, откуда следует, что $\frac{R_Л}{R_З} = \frac{1}{3,7}$.

$\frac{g_З}{g_Л} = 81 \cdot \left(\frac{1}{3,7}\right)^2 = \frac{81}{3,7^2} = \frac{81}{13,69}$

Теперь можем найти искомое отношение периодов колебаний:

$\frac{T_Л}{T_З} = \sqrt{\frac{g_З}{g_Л}} = \sqrt{\frac{81}{13,69}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{13,69}} = \frac{9}{3,7} \approx 2,4324$

Таким образом, период колебаний маятника на Луне будет больше, чем на Земле, в $\approx 2,4$ раза.

Ответ: период колебаний маятника увеличится примерно в 2,4 раза.