Номер 1.1.9, страница 12, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.1.9. К двум пружинам по очереди подвешивают один и тот же груз. Период колебаний груза на первой пружине равен 0,3 с, а на второй — 0,4 с. Определите период колебаний груза, подвешенного к этим пружинам, соединенным последовательно. (Ответ: 0,5 с.)

Дано:

Период колебаний груза на первой пружине, $T_1 = 0,3$ с.

Период колебаний груза на второй пружине, $T_2 = 0,4$ с.

Найти:

Период колебаний груза на пружинах, соединенных последовательно, $T_{посл}$.

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ - масса груза, а $k$ - жесткость пружины.

Для первой пружины период колебаний равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}$

Для второй пружины:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}}$

Возведем в квадрат выражения для периодов, чтобы выразить величины, обратные жесткостям пружин ($1/k$):

$T_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1} \implies \frac{1}{k_1} = \frac{T_1^2}{4\pi^2 m}$

$T_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2} \implies \frac{1}{k_2} = \frac{T_2^2}{4\pi^2 m}$

При последовательном соединении пружин общая (эквивалентная) жесткость системы $k_{посл}$ находится по формуле:

$\frac{1}{k_{посл}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

Подставим в эту формулу выражения для $1/k_1$ и $1/k_2$:

$\frac{1}{k_{посл}} = \frac{T_1^2}{4\pi^2 m} + \frac{T_2^2}{4\pi^2 m} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{4\pi^2 m}$

Период колебаний груза на системе из двух пружин, соединенных последовательно, будет равен:

$T_{посл} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{посл}}} = 2\pi\sqrt{m \cdot \frac{1}{k_{посл}}}$

Подставим в это выражение найденную величину $1/k_{посл}$:

$T_{посл} = 2\pi\sqrt{m \cdot \frac{T_1^2 + T_2^2}{4\pi^2 m}}$

Сократим $m$ и $4\pi^2$ под корнем и получим итоговую формулу:

$T_{посл} = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$T_{посл} = \sqrt{(0,3 \text{ с})^2 + (0,4 \text{ с})^2} = \sqrt{0,09 \text{ с}^2 + 0,16 \text{ с}^2} = \sqrt{0,25 \text{ с}^2} = 0,5 \text{ с}$

Ответ: период колебаний груза на пружинах, соединенных последовательно, равен $0,5$ с.