Номер 1.1.5, страница 12, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.1.5. Груз массой 500 г совершает колебания на пружине жесткостью 200 Н/м. Амплитуда колебаний составляет 10 см. Найдите полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость движения груза. (Ответ: 1 Дж; 2 м/с.)

Дано:

Масса груза, $m = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

Жесткость пружины, $k = 200 \text{ Н/м}$

Амплитуда колебаний, $A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Полную механическую энергию, $E - ?$

Наибольшую скорость, $v_{max} - ?$

Решение:

Полная механическая энергия $E$ колебательной системы, состоящей из груза и пружины, в отсутствие трения сохраняется. Она равна сумме кинетической энергии груза $E_k$ и потенциальной энергии пружины $E_p$.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

В крайних точках траектории, когда смещение от положения равновесия максимально и равно амплитуде ($x = A$), скорость груза на мгновение становится равной нулю ($v = 0$). В этих точках вся механическая энергия системы представлена потенциальной энергией пружины.

$E = E_{p, max} = \frac{kA^2}{2}$

Вычислим значение полной механической энергии:

$E = \frac{200 \text{ Н/м} \cdot (0.1 \text{ м})^2}{2} = \frac{200 \cdot 0.01}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ Дж}$

Наибольшая скорость движения груза ($v = v_{max}$) достигается при прохождении им положения равновесия ($x = 0$). В этой точке потенциальная энергия пружины равна нулю, и вся механическая энергия системы переходит в кинетическую энергию груза.

$E = E_{k, max} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Из этого соотношения выразим наибольшую скорость $v_{max}$:

$v_{max}^2 = \frac{2E}{m}$

$v_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}}$

Подставим числовые значения:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1 \text{ Дж}}{0.5 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{2}{0.5}} = \sqrt{4} = 2 \text{ м/с}$

Ответ: полная механическая энергия колебаний равна $1 \text{ Дж}$; наибольшая скорость движения груза составляет $2 \text{ м/с}$.