Номер 1.1.3, страница 12, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.1.3. Какую часть периода груз пружинного маятника находится в пределах 3,09 мм от положения равновесия, если амплитуда его колебаний равна 1 см? Колебания маятника начинаются с максимального растяжения пружины. (Ответ: $1/5$.)

Дано:

Предельное отклонение от положения равновесия $x_{lim} = 3,09 \text{ мм}$

Амплитуда колебаний $A = 1 \text{ см}$

$x_{lim} = 3,09 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$A = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Какую часть периода $t/T$ груз находится в заданных пределах.

Решение:

Колебания пружинного маятника являются гармоническими. Поскольку по условию колебания начинаются с максимального растяжения пружины, в начальный момент времени $t=0$ смещение груза от положения равновесия равно амплитуде, $x(0) = A$. Уравнение движения груза в таком случае удобно записать с использованием косинуса:

$x(t) = A \cos(\omega t)$, где $\omega$ - циклическая частота колебаний, связанная с периодом $T$ соотношением $\omega = 2\pi/T$.

Нам нужно найти, какую часть периода груз находится в пределах $3,09 \text{ мм}$ от положения равновесия, то есть в интервале $[-x_{lim}, x_{lim}]$. Это условие можно записать в виде неравенства:

$|x(t)| \le x_{lim}$

$|A \cos(\omega t)| \le x_{lim}$

Рассмотрим движение груза в течение одного периода. Удобнее найти время, в течение которого груз находится *за пределами* указанного интервала, то есть когда $|x(t)| > x_{lim}$, а затем вычесть это время из полного периода.

Из-за симметрии гармонических колебаний, время, которое маятник проводит в четырех интервалах (от $A$ до $x_{lim}$, от $-x_{lim}$ до $-A$, от $-A$ до $-x_{lim}$ и от $x_{lim}$ до $A$), одинаково.

Найдем время $t_1$, за которое груз перемещается от максимального отклонения $A$ до границы $x_{lim}$ в первом квартале периода. В момент времени $t=0$ груз находится в точке $x=A$. В момент $t=t_1$ его координата станет $x(t_1) = x_{lim}$.

$x_{lim} = A \cos(\omega t_1)$

$\cos(\omega t_1) = \frac{x_{lim}}{A}$

$\omega t_1 = \arccos\left(\frac{x_{lim}}{A}\right)$

$t_1 = \frac{1}{\omega}\arccos\left(\frac{x_{lim}}{A}\right)$

Полное время $t_{out}$, которое груз проводит за пределами интервала $[-x_{lim}, x_{lim}]$ в течение одного периода $T$, равно учетверенному времени $t_1$:

$t_{out} = 4t_1 = \frac{4}{\omega}\arccos\left(\frac{x_{lim}}{A}\right)$

Время $t_{in}$, которое груз находится *внутри* заданного интервала, равно разности периода $T$ и времени $t_{out}$:

$t_{in} = T - t_{out} = \frac{2\pi}{\omega} - \frac{4}{\omega}\arccos\left(\frac{x_{lim}}{A}\right)$

Искомая часть периода - это отношение $t_{in}$ к $T$:

$\frac{t_{in}}{T} = \frac{T - t_{out}}{T} = 1 - \frac{t_{out}}{T} = 1 - \frac{\frac{4}{\omega}\arccos\left(\frac{x_{lim}}{A}\right)}{\frac{2\pi}{\omega}} = 1 - \frac{2}{\pi}\arccos\left(\frac{x_{lim}}{A}\right)$

Подставим числовые значения:

$\frac{x_{lim}}{A} = \frac{3,09 \text{ мм}}{1 \text{ см}} = \frac{3,09 \text{ мм}}{10 \text{ мм}} = 0,309$

В задачах такого типа часто используются "удобные" значения. Заметим, что $0,309$ близко к значению $\cos(72^\circ)$ или $\cos(0,4\pi)$.

$\cos(0,4\pi) \approx 0,309017...$

Примем, что $\arccos(0,309) = 0,4\pi$ радиан.

$\frac{t_{in}}{T} = 1 - \frac{2}{\pi} \cdot (0,4\pi) = 1 - 2 \cdot 0,4 = 1 - 0,8 = 0,2$

Представим результат в виде дроби:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Ответ: $1/5$.