Номер 3, страница 10, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3. Какими уравнениями описываются смещение, скорость и ускорение гармонического колебания? Как они представлены графически? В чем заключаются сходство и отличие этих графиков?

Какими уравнениями описываются смещение, скорость и ускорение гармонического колебания?

Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании описываются синусоидальными (или косинусоидальными) функциями времени. Уравнения для скорости и ускорения получаются путем последовательного дифференцирования по времени уравнения для смещения.

1. Уравнение смещения ($x$):

$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$

Здесь $A$ — амплитуда (максимальное смещение), $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, $\varphi_0$ — начальная фаза, а $(\omega t + \varphi_0)$ — полная фаза колебаний в момент времени $t$.

2. Уравнение скорости ($v$):

Скорость является первой производной от смещения по времени: $v(t) = x'(t)$.

$v(t) = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega t + \varphi_0)) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi_0)$

Это уравнение также можно записать как $v(t) = A\omega \cos(\omega t + \varphi_0 + \frac{\pi}{2})$, что показывает опережение фазы скорости по сравнению со смещением на $\frac{\pi}{2}$. Амплитуда скорости равна $v_{max} = A\omega$.

3. Уравнение ускорения ($a$):

Ускорение является второй производной от смещения по времени: $a(t) = x''(t)$.

$a(t) = \frac{d}{dt}(-A\omega \sin(\omega t + \varphi_0)) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0)$

Из этого уравнения следует основное свойство гармонического колебания: $a(t) = -\omega^2 x(t)$. Ускорение пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону. Фаза ускорения опережает фазу смещения на $\pi$, что можно записать как $a(t) = A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0 + \pi)$. Амплитуда ускорения равна $a_{max} = A\omega^2$.

Как они представлены графически?

Графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени представляют собой синусоидальные кривые (косинусоиды или синусоиды), сдвинутые друг относительно друга по фазе.

- График смещения $x(t)$: косинусоида с амплитудой $A$ и периодом $T = 2\pi/\omega$.

- График скорости $v(t)$: синусоида (или косинусоида, сдвинутая на $\pi/2$) с амплитудой $v_{max} = A\omega$. График опережает по фазе график смещения на $\pi/2$. Когда смещение достигает максимума ($x=\pm A$), скорость равна нулю. Когда тело проходит положение равновесия ($x=0$), его скорость максимальна по модулю ($v=\pm v_{max}$).

- График ускорения $a(t)$: косинусоида, находящаяся в противофазе со смещением, с амплитудой $a_{max} = A\omega^2$. График ускорения опережает по фазе график скорости на $\pi/2$. Когда смещение максимально ($x=\pm A$), ускорение также максимально по модулю, но имеет противоположный знак ($a=\mp a_{max}$). Когда тело проходит положение равновесия ($x=0$), его ускорение равно нулю.

В чем заключаются сходство и отличие этих графиков?

Сходства:

- Все три величины (смещение, скорость, ускорение) изменяются по гармоническому закону, то есть их графики являются синусоидами.

- Колебания всех трех величин происходят с одинаковой циклической частотой $\omega$ и, следовательно, с одинаковым периодом $T = 2\pi/\omega$.

Отличия:

- Амплитуды: Амплитуды колебаний различны и равны соответственно $A$ для смещения, $v_{max} = A\omega$ для скорости и $a_{max} = A\omega^2$ для ускорения.

- Сдвиг фаз: Это ключевое отличие. Колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на $\frac{\pi}{2}$. Колебания ускорения опережают колебания скорости по фазе на $\frac{\pi}{2}$. В результате колебания ускорения и смещения находятся в противофазе (сдвиг фаз равен $\pi$).

Ответ: Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании описываются уравнениями $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$, $v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi_0)$ и $a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0)$. Графически это синусоиды с одинаковым периодом, но разными амплитудами ($A$, $A\omega$, $A\omega^2$) и фазовыми сдвигами: скорость опережает смещение на $\pi/2$, а ускорение находится в противофазе ($\pi$) со смещением.