Номер 1.1.2, страница 12, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.1.2. На сколько отстанут за сутки маятниковые часы, поднятые на высоту самой высокой точки Казахстана – пика Хан Танири (6995 м)? Телебашни «Коктобе» (371,5 м)? (Ответ: 94,8 с; 5 с.)

Дано:

$h_1 = 6995$ м (высота пика Хан-Тенгри)

$h_2 = 371,5$ м (высота телебашни «Коктобе»)

$\tau = 1$ сутки

Будем использовать средний радиус Земли $R_З \approx 6371$ км.

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 6995$ м

$h_2 = 371,5$ м

$\tau = 1 \cdot 24 \cdot 3600 = 86400$ с

$R_З \approx 6371 \cdot 10^3$ м $= 6.371 \cdot 10^6$ м

Найти:

$\Delta t_1$ - отставание часов на пике Хан-Тенгри.

$\Delta t_2$ - отставание часов на телебашне «Коктобе».

Решение:

Период колебаний маятниковых часов зависит от ускорения свободного падения $g$ по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $l$ - приведенная длина маятника.

Ускорение свободного падения уменьшается с высотой $h$ над поверхностью Земли. Если на поверхности Земли ($h=0$) оно равно $g_0$, то на высоте $h$ оно будет равно $g_h$:

$g_h = G\frac{M}{(R_З+h)^2}$, где $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса Земли, $R_З$ - радиус Земли.

Соответственно, периоды колебаний маятника на поверхности Земли ($T_0$) и на высоте $h$ ($T_h$) будут равны:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_0}}$ и $T_h = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_h}}$

Найдем отношение периодов:

$\frac{T_h}{T_0} = \sqrt{\frac{g_0}{g_h}} = \sqrt{\frac{G M / R_З^2}{G M / (R_З+h)^2}} = \sqrt{\frac{(R_З+h)^2}{R_З^2}} = \frac{R_З+h}{R_З}$

Поскольку $T_h > T_0$, часы на высоте идут медленнее, то есть отстают.

Пусть за реальное время $\tau$ (сутки) часы на высоте совершили $N_h$ колебаний. Время, которое они покажут, будет $t_{показания} = N_h \cdot T_0$. Реально прошедшее время равно $\tau = N_h \cdot T_h$.

Отсюда $N_h = \tau / T_h$, и $t_{показания} = \frac{\tau}{T_h} T_0 = \tau \frac{T_0}{T_h}$.

Отставание часов $\Delta t$ за реальное время $\tau$ составит:

$\Delta t = \tau - t_{показания} = \tau - \tau\frac{T_0}{T_h} = \tau \left(1 - \frac{T_0}{T_h}\right)$

Подставим ранее найденное отношение $\frac{T_0}{T_h} = \frac{R_З}{R_З+h}$:

$\Delta t = \tau \left(1 - \frac{R_З}{R_З+h}\right) = \tau \left(\frac{R_З+h-R_З}{R_З+h}\right) = \tau \frac{h}{R_З+h}$

Эта формула является точной. Часто используют приближенную формулу $\Delta t \approx \tau \frac{h}{R_З}$, так как $h \ll R_З$. Для большей точности будем использовать точную формулу.

Пик Хан-Тенгри

Подставим в формулу значения для высоты $h_1 = 6995$ м:

$\Delta t_1 = 86400 \text{ с} \cdot \frac{6995 \text{ м}}{6.371 \cdot 10^6 \text{ м} + 6995 \text{ м}} = 86400 \cdot \frac{6995}{6377995} \approx 94.76$ с

Ответ: 94,8 с.

Телебашня «Коктобе»

Подставим в формулу значения для высоты $h_2 = 371,5$ м:

$\Delta t_2 = 86400 \text{ с} \cdot \frac{371,5 \text{ м}}{6.371 \cdot 10^6 \text{ м} + 371,5 \text{ м}} = 86400 \cdot \frac{371,5}{6371371,5} \approx 5.04$ с

Ответ: 5,0 с.