Задание(экспериментальное исследование), страница 10, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

Задание (экспериментальное исследование)

1. Определите неизвестную массу тела $m_1$, имея секундомер, пружину и другое тело известной массы $m_2$.

2. Составьте алгоритм сравнения масс двух различных тел, подвешивая эти тела к пружине и измеряя частоты этих тел.

1. Определите неизвестную массу тела m₁, имея секундомер, пружину и другое тело известной массы m₂.

Дано:

Пружина с неизвестной жесткостью $k$.

Секундомер.

Тело известной массы $m_2$.

Тело неизвестной массы $m_1$.

Найти:

Неизвестную массу $m_1$.

Решение:

Этот метод определения массы основан на свойствах колебаний пружинного маятника. Период $T$ свободных колебаний груза массой $m$, подвешенного на пружине с жесткостью $k$, определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Поскольку в эксперименте используется одна и та же пружина, ее жесткость $k$ является постоянной величиной. Это позволяет нам связать массы тел с периодами их колебаний.

Проведем эксперимент в несколько шагов:

1. Подвесим к пружине тело известной массы $m_2$. Сместим его из положения равновесия и отпустим, чтобы вызвать вертикальные колебания. С помощью секундомера измерим время $t_2$, за которое маятник совершит достаточно большое число $N$ полных колебаний (например, $N=20$ или $N=30$ для увеличения точности измерений). Тогда период колебаний $T_2$ можно рассчитать как:

$T_2 = \frac{t_2}{N}$

2. Теперь заменим тело массы $m_2$ на тело неизвестной массы $m_1$ и повторим процедуру. Измерим время $t_1$, за которое этот маятник совершит то же самое число $N$ полных колебаний. Период его колебаний $T_1$ будет равен:

$T_1 = \frac{t_1}{N}$

3. Запишем формулы для периодов обоих маятников:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}$

4. Чтобы исключить неизвестную жесткость пружины $k$, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$

5. Возведем обе части полученного равенства в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \frac{m_1}{m_2}$

6. Отсюда выразим искомую массу $m_1$:

$m_1 = m_2 \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$

Подставим в это выражение формулы для периодов через измеренные времена $t_1$ и $t_2$:

$m_1 = m_2 \left(\frac{t_1/N}{t_2/N}\right)^2 = m_2 \left(\frac{t_1}{t_2}\right)^2$

Таким образом, измерив времена $t_1$ и $t_2$ и зная массу $m_2$, мы можем вычислить массу $m_1$.

Ответ: Чтобы определить неизвестную массу $m_1$, необходимо подвесить к пружине поочередно тело известной массы $m_2$ и тело неизвестной массы $m_1$. Для каждого тела измерить с помощью секундомера время ($t_2$ и $t_1$ соответственно) для совершения одинакового числа $N$ полных колебаний. Неизвестная масса вычисляется по формуле $m_1 = m_2 \left(\frac{t_1}{t_2}\right)^2$.

2. Составьте алгоритм сравнения масс двух различных тел, подвешивая эти тела к пружине и измеряя частоты этих тел.

Для сравнения масс двух различных тел (обозначим их массы как $m_1$ и $m_2$) с помощью пружины и измерения частот их колебаний, следует придерживаться следующего алгоритма:

1. Закрепите пружину в вертикальном положении.

2. Подвесьте к свободному концу пружины первое тело массой $m_1$.

3. Вызовите свободные вертикальные колебания системы, немного оттянув груз вниз и отпустив его.

4. С помощью секундомера измерьте количество полных колебаний $N_1$, которое совершает тело за фиксированный промежуток времени $t$. Для повышения точности рекомендуется выбирать достаточно большой промежуток времени (например, $t = 30$ с или $t = 60$ с).

5. Рассчитайте частоту колебаний первого тела по формуле: $\nu_1 = \frac{N_1}{t}$.

6. Замените первое тело на второе, массой $m_2$.

7. Повторите шаги 3 и 4 для второго тела: измерьте число полных колебаний $N_2$ за тот же самый промежуток времени $t$.

8. Рассчитайте частоту колебаний второго тела по формуле: $\nu_2 = \frac{N_2}{t}$.

9. Сравните полученные частоты $\nu_1$ и $\nu_2$ для сравнения масс.

Теоретическое обоснование: Частота $\nu$ колебаний пружинного маятника связана с массой груза $m$ и жесткостью пружины $k$ формулой:

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Из этой формулы видно, что частота колебаний обратно пропорциональна квадратному корню из массы ($\nu \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$). Следовательно, чем больше масса тела, тем меньше частота его колебаний на той же пружине.

Правило для сравнения масс:

• Если $\nu_1 > \nu_2$ (что эквивалентно $N_1 > N_2$), то масса первого тела меньше массы второго: $m_1 < m_2$.
• Если $\nu_1 < \nu_2$ (что эквивалентно $N_1 < N_2$), то масса первого тела больше массы второго: $m_1 > m_2$.
• Если $\nu_1 = \nu_2$ (что эквивалентно $N_1 = N_2$), то массы тел равны: $m_1 = m_2$.

Для количественного сравнения можно найти отношение масс. Из формулы для частоты следует, что $m = \frac{k}{4\pi^2\nu^2}$. Тогда отношение масс будет равно:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{k/(4\pi^2\nu_1^2)}{k/(4\pi^2\nu_2^2)} = \frac{\nu_2^2}{\nu_1^2} = \left(\frac{\nu_2}{\nu_1}\right)^2$

Подставляя выражения для частот, получаем:

$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{N_2/t}{N_1/t}\right)^2 = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$

Ответ: Алгоритм сравнения масс: 1. Поочередно подвесить тела к пружине. 2. Для каждого тела измерить число колебаний ($N_1$ и $N_2$) за один и тот же промежуток времени $t$. 3. Сравнить массы на основе принципа: тело с большей массой будет иметь меньшую частоту колебаний (меньшее число колебаний $N$ за время $t$). Отношение масс равно обратному отношению квадратов числа колебаний: $\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$.