Номер 1.1.1, страница 12, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.1.1. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону $x = A \cos \omega t$ с периодом 6 с и начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время, считая от начала движения, точка сместится от положения равновесия наполовину амплитуды. (Ответ: 1 с.)

Дано

Закон колебаний: $x = A \cos(\omega t)$

$T = 6$ с

$x = \frac{A}{2}$

Найти:

$t$

Решение

Уравнение гармонических колебаний материальной точки задано по закону $x = A \cos(\omega t)$. Это означает, что начальная фаза колебаний равна нулю, и в начальный момент времени ($t=0$) смещение точки от положения равновесия максимально и равно амплитуде $A$.

Циклическая (круговая) частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ следующим соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим в эту формулу значение периода из условия задачи $T = 6$ с:

$\omega = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ рад/с

Таким образом, уравнение движения точки принимает вид:

$x(t) = A \cos(\frac{\pi}{3}t)$

Нам нужно найти момент времени $t$, когда смещение точки от положения равновесия $x$ составит половину амплитуды, то есть $x = \frac{A}{2}$. Подставим это условие в уравнение движения:

$\frac{A}{2} = A \cos(\frac{\pi}{3}t)$

Разделим обе части уравнения на амплитуду $A$ (которая не равна нулю):

$\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3}t)$

Мы ищем наименьшее положительное время $t$, удовлетворяющее этому уравнению. Наименьший положительный угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, фаза колебаний должна быть равна этому значению:

$\frac{\pi}{3}t = \frac{\pi}{3}$

Решая это уравнение относительно $t$, получаем:

$t = 1$ с

Ответ: 1 с.