Номер 1.1.8, страница 12, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.1.8. К пружине подвешена чашка весов с гирями. Период вертикальных колебаний чашки равен 0,15 с. После того как на чашку положили добавочные гири, период вертикальных колебаний стал равен 0,25 с. На сколько сместилась точка равновесия пружинного маятника после добавления гирь? (Ответ: 9,9 мм.)

Дано:

Период колебаний до добавления гирь, $T_1 = 0,15$ с

Период колебаний после добавления гирь, $T_2 = 0,25$ с

Данные величины представлены в системе СИ.

Найти:

Смещение точки равновесия пружинного маятника, $\Delta x$.

Решение:

Период вертикальных колебаний пружинного маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ — масса груза, а $k$ — жесткость пружины. В начальном состоянии (масса $m_1$) и в конечном состоянии (масса $m_2$) периоды равны:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}$

Положение равновесия для вертикального пружинного маятника определяется условием равенства силы тяжести, действующей на груз, и силы упругости пружины: $mg = kx$, где $x$ — удлинение пружины. Отсюда, удлинение в положении равновесия: $x = \frac{mg}{k}$.

В начальном состоянии удлинение пружины $x_1 = \frac{m_1g}{k}$.

После добавления гирь удлинение становится $x_2 = \frac{m_2g}{k}$.

Смещение точки равновесия $\Delta x$ равно разности этих удлинений:

$\Delta x = x_2 - x_1 = \frac{m_2g}{k} - \frac{m_1g}{k} = \frac{(m_2 - m_1)g}{k}$

Чтобы найти $\Delta x$, выразим массы $m_1$ и $m_2$ из формул для периодов, предварительно возведя их в квадрат:

$T_1^2 = 4\pi^2\frac{m_1}{k} \implies m_1 = \frac{kT_1^2}{4\pi^2}$

$T_2^2 = 4\pi^2\frac{m_2}{k} \implies m_2 = \frac{kT_2^2}{4\pi^2}$

Разность масс $m_2 - m_1$ равна:

$m_2 - m_1 = \frac{kT_2^2}{4\pi^2} - \frac{kT_1^2}{4\pi^2} = \frac{k(T_2^2 - T_1^2)}{4\pi^2}$

Подставим полученное выражение для разности масс в формулу для смещения $\Delta x$:

$\Delta x = \frac{g}{k} (m_2 - m_1) = \frac{g}{k} \cdot \frac{k(T_2^2 - T_1^2)}{4\pi^2} = \frac{g(T_2^2 - T_1^2)}{4\pi^2}$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с$^2$:

$\Delta x = \frac{9,8 \cdot (0,25^2 - 0,15^2)}{4\pi^2} = \frac{9,8 \cdot (0,0625 - 0,0225)}{4\pi^2} = \frac{9,8 \cdot 0,04}{4\pi^2}$

$\Delta x \approx \frac{0,392}{4 \cdot (3,1416)^2} \approx \frac{0,392}{39,4784} \approx 0,009929$ м

Переведем результат в миллиметры:

$0,009929$ м $\approx 9,9$ мм.

Ответ: точка равновесия пружинного маятника сместилась на $9,9$ мм.