Номер 2, страница 23, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2. Напишите формулы для определения мгновенных значений заряда q и смещения x для случая затухающих электрических и механических колебаний. Начертите графики зависимости заряда и перемещения от времени для слабозатухающих колебаний.

Формулы для определения мгновенных значений заряда q и смещения x

Затухающие колебания — это колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени из-за потерь энергии. Как в механических, так и в электрических системах они описываются схожими по виду дифференциальными уравнениями, что приводит к аналогичным решениям.

Для затухающих механических колебаний (например, пружинный маятник с трением) мгновенное значение смещения $x$ от положения равновесия в любой момент времени $t$ определяется по формуле:

$x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \phi_0)$

Здесь:

• $A(t) = A_0 e^{-\beta t}$ — амплитуда затухающих колебаний, которая экспоненциально уменьшается со временем. $A_0$ — начальная амплитуда в момент $t=0$.

• $e$ — основание натурального логарифма ($e \approx 2,718$).

• $\beta$ — коэффициент затухания, характеризующий скорость уменьшения амплитуды. Для пружинного маятника $\beta = \frac{r}{2m}$, где $r$ — коэффициент сопротивления среды, $m$ — масса тела.

• $\omega$ — циклическая частота затухающих колебаний. Она несколько меньше частоты собственных колебаний системы $\omega_0$ и равна $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$, где $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ ($k$ — жесткость пружины).

• $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Для затухающих электрических колебаний в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности $L$, конденсатора $C$ и резистора $R$ (RLC-контур), мгновенное значение заряда $q$ на обкладках конденсатора в любой момент времени $t$ определяется по аналогичной формуле:

$q(t) = q_m e^{-\beta t} \cos(\omega t + \phi_0)$

Здесь:

• $A(t) = q_m e^{-\beta t}$ — амплитуда колебаний заряда. $q_m$ — начальная амплитуда заряда в момент $t=0$.

• $\beta$ — коэффициент затухания. Для RLC-контура $\beta = \frac{R}{2L}$, где $R$ — сопротивление контура, $L$ — индуктивность.

• $\omega$ — циклическая частота затухающих колебаний. Она равна $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$, где $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ — частота собственных электромагнитных колебаний в контуре без сопротивления.

• $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Ответ: Формула для мгновенного значения смещения при затухающих механических колебаниях: $x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \phi_0)$. Формула для мгновенного значения заряда при затухающих электрических колебаниях: $q(t) = q_m e^{-\beta t} \cos(\omega t + \phi_0)$.

Графики зависимости заряда и перемещения от времени для слабозатухающих колебаний

Графики зависимостей $q(t)$ и $x(t)$ имеют одинаковый вид. Они представляют собой синусоиду (или косинусоиду), амплитуда которой со временем экспоненциально убывает. Колебания происходят внутри "коридора", ограниченного кривыми экспоненциального затухания $A_0 e^{-\beta t}$ и $-A_0 e^{-\beta t}$ (для смещения) или $q_m e^{-\beta t}$ и $-q_m e^{-\beta t}$ (для заряда).

График зависимости заряда q от времени t:

График зависимости смещения x от времени t:

Ответ: Графики зависимости заряда и смещения от времени для слабозатухающих колебаний представлены выше. Они показывают гармонические колебания с экспоненциально убывающей амплитудой.