Номер 2, страница 22, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2. Между какими величинами существует аналогия в механических и электро-магнитных колебаниях? Какому общему закону подчиняется такая аналогия между величинами, характеризующими механические и электромагнитные колебания? Написав формулы, приведите примеры.

Аналогия между величинами в механических и электромагнитных колебаниях

Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями заключается в том, что оба процесса описываются одинаковыми по форме математическими уравнениями. Это позволяет сопоставить физические величины, характеризующие эти два вида колебаний. В качестве примера механической системы возьмем пружинный маятник (груз массой $m$ на пружине жесткостью $k$), а в качестве электромагнитной — колебательный контур (катушка индуктивностью $L$ и конденсатор емкостью $C$).

Соответствие величин представлено ниже:

Механическая система (пружинный маятник)

• Координата (смещение от положения равновесия): $x$
• Скорость: $v = \frac{dx}{dt}$
• Масса (мера инертности): $m$
• Жесткость пружины (упругие свойства): $k$
• Коэффициент затухания (трение): $b$
• Кинетическая энергия: $E_k = \frac{1}{2}mv^2$
• Потенциальная энергия: $E_p = \frac{1}{2}kx^2$
• Внешняя сила: $F(t)$

Электромагнитная система (колебательный контур)

• Заряд на конденсаторе: $q$
• Сила тока (скорость изменения заряда): $I = \frac{dq}{dt}$
• Индуктивность катушки (электромагнитная инертность): $L$
• Величина, обратная емкости: $\frac{1}{C}$
• Активное сопротивление (электрическое "трение"): $R$
• Энергия магнитного поля: $W_L = \frac{1}{2}LI^2$
• Энергия электрического поля: $W_C = \frac{q^2}{2C}$
• Внешняя ЭДС: $\mathcal{E}(t)$

Общий закон и математическое описание

Эта аналогия подчиняется общему закону, который выражается в идентичности дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы. Оба типа колебаний описываются линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Для механических вынужденных колебаний с затуханием (пружинный маятник) уравнение, основанное на втором законе Ньютона, имеет вид:

$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = F(t)$

Для электромагнитных вынужденных колебаний в последовательном RLC-контуре уравнение, основанное на втором правиле Кирхгофа, имеет вид:

$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = \mathcal{E}(t)$

Сравнивая эти два уравнения, мы видим их полную математическую эквивалентность при замене соответствующих величин: $x \leftrightarrow q$, $v \leftrightarrow I$, $m \leftrightarrow L$, $b \leftrightarrow R$, $k \leftrightarrow \frac{1}{C}$, $F(t) \leftrightarrow \mathcal{E}(t)$.

Примеры и формулы

Рассмотрим случай свободных незатухающих колебаний ($b=0$, $F(t)=0$ для механики и $R=0$, $\mathcal{E}(t)=0$ для электромагнетизма).

Механическая система (пружинный маятник):

Уравнение: $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$.

Решение: $x(t) = x_m \cos(\omega_0 t + \varphi_0)$.

Собственная циклическая частота: $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Период колебаний: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Полная энергия: $E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \text{const}$.

Электромагнитная система (LC-контур):

Уравнение: $L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{C}q = 0$.

Решение: $q(t) = q_m \cos(\omega_0 t + \varphi_0)$.

Собственная циклическая частота (формула Томсона): $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Период колебаний: $T = 2\pi\sqrt{LC}$.

Полная энергия: $W = \frac{1}{2}LI^2 + \frac{q^2}{2C} = \text{const}$.

Пример: в пружинном маятнике в крайних положениях ($x=\pm x_m$, $v=0$) вся энергия потенциальна ($E_p = \frac{1}{2}kx_m^2$), а при прохождении положения равновесия ($x=0$, $v=\pm v_{max}$) вся энергия кинетическая ($E_k = \frac{1}{2}mv_{max}^2$). Аналогично, в LC-контуре в момент, когда конденсатор полностью заряжен ($q=\pm q_m$, $I=0$), вся энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора ($W_C = \frac{q_m^2}{2C}$). Когда конденсатор полностью разряжен ($q=0$, $I=\pm I_{max}$), вся энергия переходит в энергию магнитного поля катушки ($W_L = \frac{1}{2}LI_{max}^2$).

Ответ: Аналогия существует между следующими парами величин: координата ($x$) и заряд ($q$); скорость ($v$) и сила тока ($I$); масса ($m$) и индуктивность ($L$); жесткость ($k$) и обратная емкость ($\frac{1}{C}$); коэффициент трения ($b$) и сопротивление ($R$); кинетическая энергия и энергия магнитного поля; потенциальная энергия и энергия электрического поля. Эта аналогия подчиняется общему закону, который заключается в том, что оба процесса описываются одинаковыми по форме линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Например, для свободных незатухающих колебаний формулы для периода имеют схожую структуру: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ для пружинного маятника и $T = 2\pi\sqrt{LC}$ для колебательного контура.